Análisis Matemático I · Parcial modelo

Segundo parcial de Análisis I, resuelto paso a paso

Es un parcial modelo, escrito por nosotros. No es el parcial de ninguna cátedra ni de ninguna fecha: está armado con el temario y el formato de los que se toman, para que puedas practicar con algo parecido.

Aproximación polinomial, cálculo integral y series: Taylor con cota del error, sustitución y partes, área entre curvas, y radio e intervalo de convergencia.

4 ejercicios, 21 preguntas, 120 minutos. Se aprueba con 60 sobre 100.

Rendirlo vos primero →Sin corrección hasta entregarlo, como el de verdad · después te da la nota y a qué temas volver

Las consignas

Cuatro problemas, dos horas, como el de verdad. Sin calculadora: los resultados quedan en forma exacta —fracciones como 1/4, expresiones como 2e² + 2— salvo en los dos ítems que piden expresamente decimales. Los decimales podés escribirlos con coma o con punto, da igual.

Este parcial se pierde casi siempre en los mismos tres lugares, así que vale la pena tenerlos en la cabeza desde el primer renglón: al sustituir en una integral definida hay que cambiar también los límites; un área nunca da negativa, y si la cuenta da negativa es que están invertidas las funciones; y los dos extremos del intervalo de convergencia se analizan uno por uno, porque ahí ningún criterio decide solo.

Un aviso sobre el recorte: el tercer problema del parcial real puede venir como área entre curvas, como volumen de revolución o como ecuación diferencial de variables separables (tema 7.4). Acá cae como área, que es la versión más frecuente — si te toca la otra, repasá 7.4 aparte.

Ejercicio 1 — Taylor y la cota del error 25 puntos

Se quiere estimar √4,4 a mano, sin calculadora, usando f(x) = √x cerca de x₀ = 4. El 4 se elige justamente porque √4 = 2 sale de memoria.

a) ¿Cuánto vale f ′(4)? Escribilo en decimales.
b) Con la aproximación lineal L(x) = f(4) + f ′(4)·(x − 4), ¿qué valor da para √4,4?
c) Sin calcular √4,4, ¿ese 2,1 se pasa o se queda corto?
d) En el polinomio de Taylor de orden 2 de f centrado en x₀ = 4, ¿cuánto vale el coeficiente que multiplica a (x − 4)²? Poné el signo.
e) Con el resto de Lagrange, ¿cuál es la cota del error que se comete al aproximar √4,4 por 2,1? Escribila en decimales.

Resolución

Todo el ejercicio sale de tres números, y conviene calcularlos antes de leer los ítems:

f(x) = √x → f(4) = 2
f ′(x) = 1/(2√x) → f ′(4) = 1/(2·2) = 1/4
f ′′(x) = −1/(4·x^3/2) → f ′′(4) = −1/(4·8) = −1/32

a) f ′(4) = 1/4 = 0,25.

b) La aproximación lineal es la recta tangente, leída como fórmula de cálculo en vez de como objeto geométrico:

L(x) = 2 + ¼·(x − 4)
L(4,4) = 2 + ¼·0,4 = 2 + 0,1 = 2,1

Fijate que la cuenta entera se hace de cabeza. Ese es el punto de elegir x₀ = 4: si hubieras centrado en 4,4 —donde no sabés cuánto vale la raíz— la fórmula sigue siendo cierta y sigue siendo inútil.

c) Se pasa. Y esto se contesta sin calcular √4,4, que es justamente lo que el ítem quiere ver: f ′′ es negativa en todo el intervalo, así que f es cóncava hacia abajo, y una función cóncava hacia abajo queda siempre por debajo de cualquiera de sus rectas tangentes. Entonces la tangente sobreestima.

Control: el valor real es √4,4 = 2,0976…, efectivamente menor que 2,1 ✓. Pero ojo, mirar el valor real es el control, no la justificación: el argumento es la concavidad.

d) El coeficiente de orden k en Taylor es f^(k)(x₀)/k!, con el factorial:

coef de (x − 4)² = f ′′(4)/2! = (−1/32)/2 = −1/64 = −0,015625

Perder el factorial es el error número uno del tema, y la otra mitad de los errores está en escribir el polinomio en potencias de x en lugar de (x − 4): centrado en 4, las potencias son de (x − 4), siempre.

Con eso, P₂(x) = 2 + ¼(x − 4) − (x − 4)²/64, y P₂(4,4) = 2,1 − 0,16/64 = 2,0975, que ya le pega a √4,4 en los tres primeros decimales.

e) El resto no se calcula: se acota, porque la fórmula de Lagrange evalúa la derivada en un punto c desconocido.

|R₁(x)| = |f ′′(c)|·(x − 4)²/2! ≤ M·(0,4)²/2, con M ≥ |f ′′(c)| para todo c de [4; 4,4]

Hay que buscar el peor caso en todo el intervalo, no el valor en el centro. Como |f ′′(x)| = 1/(4x^3/2) es decreciente, su máximo en [4; 4,4] está en el extremo izquierdo:

M = |f ′′(4)| = 1/32
|R₁(4,4)| ≤ (1/32)·0,16/2 = 0,16/64 = 0,0025

Control: el error verdadero es |2,1 − 2,0976| = 0,00238, que es menor que 0,0025 ✓ — y bastante ajustado, la cota no está regalada.

Dos detalles que valen puntos. Primero: la cota de R₁ terminó siendo exactamente el módulo del término cuadrático de P₂ (0,0025 = 0,16/64), y eso no es casualidad, es la forma del resto. Segundo: si hubieras acotado con un M más grande —por ejemplo 1/30— la respuesta seguiría siendo correcta, sólo más floja. Acotar de más está bien; acotar de menos rompe la desigualdad.

Ejercicio 2 — Sustitución, partes y el Teorema Fundamental 25 puntos

Se quiere calcular I, la integral definida de e^(√x) desde x = 0 hasta x = 4. No hay primitiva inmediata: primero hay que sustituir y recién después integrar por partes. Sobre el final aparece una segunda función, H(x), definida como la integral de e^(√u) desde u = 0 hasta u = x², que se deriva sin calcular ninguna integral.

a) ¿Cuál es la sustitución que conviene?
b) Con esa sustitución los límites de integración también cambian. ¿Cuál es el nuevo límite superior, en la variable t?
c) La integral queda como la de 2·t·e^t entre los nuevos límites. Para resolverla por partes, ¿cómo conviene elegir u y dv?
d) Integrando por partes se llega a G(t) = 2·e^t·(t − 1). ¿Cuánto vale I? Dejalo en forma exacta, con e.
e) Un compañero sustituye bien, llega a la misma G, pero la evalúa entre 0 y 4 en vez de entre 0 y 2, y contesta 329,59. ¿Qué calculó en realidad?
f) Para H(x), la integral de e^(√u) desde u = 0 hasta u = x², ¿cuánto vale H ′(1)? Dejalo en forma exacta, con e.

Resolución

a) La señal es la raíz en el exponente: se sustituye lo que molesta.

t = √x → x = t² → dx = 2t dt

La opción de arrancar por partes no es sólo más larga: es que no se puede, porque no sabés integrar ni derivar cómodamente e^(√x) tal como está. Primero se limpia con la sustitución, después se elige el método.

b) Acá se juega el ejercicio entero. Es una integral definida, así que los límites son valores de x y hay que traducirlos a valores de t:

x = 0 → t = √0 = 0 · x = 4 → t = √4 = 2

La integral queda: I = ∫ de 0 a 2 de 2t·e^t dt.

c) En partes, u es lo que se simplifica al derivar y dv lo que sabés integrar. El polinomio 2t derivado da 2 (se achica) y e^t integrado sigue siendo e^t (no empeora):

u = 2t → du = 2 dt · dv = e^t dt → v = e^t
∫ 2t·e^t dt = 2t·e^t − ∫ 2e^t dt = 2t·e^t − 2e^t = 2e^t(t − 1) + C

Al revés (u = e^t, dv = 2t dt) te queda una integral con t², que es peor que la que tenías. Esa es la señal de que elegiste mal: no está prohibido, está perdido.

d) Barrow con los límites nuevos:

I = G(2) − G(0) = 2e²·(2 − 1) − 2e⁰·(0 − 1) = 2e² − (−2) = 2e² + 2 ≈ 16,78

Control sin hacer la cuenta fina: la curva e^(√x) va de 1 hasta e² ≈ 7,39 sobre un intervalo de ancho 4, así que el área tiene que caer entre 4 y 29,6. 16,78 está adentro ✓

Control por el otro camino, verificando la primitiva: derivando G(t) = 2e^t(t − 1) con la regla del producto queda 2e^t(t − 1) + 2e^t = 2t·e^t, que es el integrando ✓. Ese chequeo cuesta diez segundos y salva el ejercicio.

e) Calculó la integral de e^(√x) entre 0 y 16. Y esto es lo que hace peligrosa la trampa: no tira error, no da un absurdo, da un número perfectamente presentable. Si t va de 0 a 4, entonces x = t² va de 0 a 16: dejar los límites viejos no es "olvidarse de un paso", es cambiar el problema.

Hay dos maneras de blindarse, y las dos valen igual: o cambiás los límites al sustituir, o volvés a la variable original antes de evaluar (I = [2e^(√x)(√x − 1)] entre 0 y 4, que da lo mismo). Lo que no se puede es mezclar: variable nueva con límites viejos.

Control de orden de magnitud: 329,59 para una curva que sobre [0, 4] nunca pasa de 7,39 es imposible, porque el máximo concebible es 4·7,39 ≈ 29,6. Mirar si el número puede existir es gratis y detecta esta clase de error.

f) Acá no hay que integrar nada: es el Teorema Fundamental con el límite superior variable, más regla de la cadena porque ese límite es x² y no x.

H(x) = ∫ de 0 a u(x) de e^(√u) du, con u(x) = x²
H ′(x) = e^(√(x²))·u ′(x) = e^(√(x²))·2x
H ′(1) = e¹·2 = 2e ≈ 5,44

Los dos errores clásicos del ítem: olvidarse del 2x de la cadena (daría e, la mitad) y, cuando la variable está en el límite inferior, no cambiar el signo.

Ejercicio 3 — El área que da cero 25 puntos

Se considera la región del plano encerrada entre la recta y = 4x y la curva y = x³. Las dos se cortan en tres puntos, así que la región tiene dos partes.

a) Las dos curvas se cortan en tres puntos. ¿Cuál es la mayor de esas tres abscisas?
b) En el tramo que va de x = 0 a x = 2, ¿cuál de las dos curvas queda por encima?
c) ¿Cuánto vale el área de la parte de la región que está entre x = 0 y x = 2?
d) ¿Cuánto vale el área total de la región encerrada por las dos curvas?
e) Alguien resuelve todo de un saque: integra (4x − x³) entre −2 y 2, y le da 0. ¿Por qué ese 0 no es el área?

Resolución

a) Antes de integrar, siempre: dónde se cortan.

4x = x³ → x³ − 4x = 0 → x·(x² − 4) = 0 → x = −2, x = 0, x = 2

El error de arranque es pasar todo dividiendo por x: eso te come la raíz x = 0, que es justo la que parte la región en dos. Se factoriza, no se divide por algo que puede ser cero.

b) Se decide evaluando en un punto cualquiera de adentro del tramo, por ejemplo x = 1:

recta: 4·1 = 4 · cúbica: 1³ = 1 → manda la recta y = 4x

Y como entre 0 y 2 no hay más cortes, no puede cambiar: para que se dieran vuelta tendrían que cruzarse otra vez.

c) Área = integral de (la de arriba − la de abajo):

A₁ = ∫ de 0 a 2 de (4x − x³) dx = [2x² − x⁴/4] de 0 a 2 = (8 − 4) − 0 = 4

Control grosero: el lóbulo entra en el rectángulo de base 2 y altura 8, o sea 16, y le sobra bastante. 4 es plausible ✓

d) El otro lóbulo va de −2 a 0, y ahí la que manda es la cúbica (en x = −1: la cúbica vale −1, la recta −4). Así que hay que dar vuelta la resta:

A₂ = ∫ de −2 a 0 de (x³ − 4x) dx = [x⁴/4 − 2x²] de −2 a 0 = 0 − (4 − 8) = 4
A = A₁ + A₂ = 4 + 4 = 8

Que los dos den 4 no es casualidad: las dos funciones son impares, así que la región es simétrica respecto del origen.

e) Esta es la trampa del ejercicio, y es la que más nota se lleva puesta en el parcial. La respuesta es la primera: en (−2, 0) la de arriba es la cúbica, así que (4x − x³) es negativa ahí y ese tramo aporta −4. Sumado al +4 del otro lado, da 0.

∫ de −2 a 2 de (4x − x³) dx = 4 + (−4) = 0 ≠ área = 4 + 4 = 8

Lo que la integral definida devuelve es el área con signo, no el área. Y como 4x − x³ es una función impar, sobre cualquier intervalo simétrico se cancela sola, sin que haga falta que la cuenta esté mal en ningún paso. Por eso el 0 se entrega tranquilo: cierra.

La regla, en una línea: un área nunca da negativa y nunca da cero si la región tiene interior. Si te da eso, no revises la aritmética — revisá en qué tramo invertiste la resta. La receta segura son tres pasos, siempre en este orden: hallar todas las intersecciones, partir el intervalo en tramos, y en cada tramo decidir con un punto de prueba cuál función va arriba.

Por qué las otras opciones no son: "toda integral sobre un intervalo simétrico da 0" es falso —probá con x², que da 16/3—; la constante de integración se cancela sola al restar en Barrow, nunca cambia el resultado; e integrar (x³ − 4x) de −2 a 2 también da 0, porque es la misma función cambiada de signo.

Ejercicio 4 — Radio, intervalo y los dos extremos 25 puntos

Se considera la serie de potencias cuyo término general es (x − 2)ⁿ / (n · 3ⁿ), sumando desde n = 1 hasta infinito. Hay que decidir para qué valores de x converge: primero el radio, y después cada uno de los dos extremos por separado.

a) ¿Cuánto vale el radio de convergencia R?
b) Reemplazando el extremo x = 5, ¿qué serie numérica queda y qué pasa con ella?
c) Reemplazando el otro extremo, x = −1, ¿qué serie queda y qué pasa con ella?
d) Juntando todo, ¿cuál es el intervalo de convergencia?
e) Aparte: si el denominador fuera sólo 3ⁿ, sin el n, en x = 3 quedaría la serie geométrica de término (1/3)ⁿ arrancando en n = 1. ¿Cuánto suma?

Resolución

a) El radio sale del criterio del cociente sobre el valor absoluto, planteando que el límite sea menor que 1:

|a_n+1/a_n| = |x − 2|ⁿ⁺¹/((n+1)·3ⁿ⁺¹) · (n·3ⁿ)/|x − 2|ⁿ
= (|x − 2|/3) · n/(n+1) → |x − 2|/3

El factor n/(n+1) tiende a 1 y se va: los factores polinómicos no cambian el radio, sólo deciden qué pasa en los bordes. Pidiendo que el límite sea menor que 1:

|x − 2|/3 menor que 1 → |x − 2| menor que 3 → R = 3, centrado en x₀ = 2

O sea que el intervalo abierto es (2 − 3, 2 + 3) = (−1, 5), y los dos extremos quedan pendientes.

b) En x = 5, la potencia (x − 2)ⁿ vale 3ⁿ, que se simplifica entero con el 3ⁿ de abajo:

3ⁿ/(n·3ⁿ) = 1/n → suma de 1/n: la serie armónica, que diverge

Acá se juega un concepto entero de la unidad: los términos 1/n sí tienden a 0, y la serie diverge igual. Que a_n → 0 es condición necesaria pero no suficiente, y la armónica es el contraejemplo obligatorio. Sus sumas parciales crecen como ln(N): despacio, pero sin techo — con un millón de términos recién van por 14.

c) En x = −1, la potencia (x − 2)ⁿ vale (−3)ⁿ, que se simplifica igual pero deja el signo:

(−3)ⁿ/(n·3ⁿ) = (−1)ⁿ/n → la armónica alternada, que converge por Leibniz

Leibniz pide dos cosas y las dos se cumplen: el módulo 1/n decrece y tiende a 0. (Su suma, de yapa, es −ln 2 ≈ −0,693.)

Y ahí está la trampa del ejercicio: es exactamente la misma serie de potencias, y los dos extremos se comportan al revés uno del otro. Por eso el criterio del cociente no sirve en los bordes —en x = −1 y en x = 5 da 1 clavado, que es el caso en que "no decide"— y por eso hay que reemplazar cada extremo a mano y estudiarlo como serie numérica. Contestar los dos iguales, sea "converge" o "diverge", es la forma más común de perder medio ejercicio.

d) Converge adentro, converge en −1, diverge en 5:

intervalo de convergencia = [−1, 5) · radio R = 3

La respuesta completa son las dos cosas: el radio y el intervalo, con los corchetes bien puestos. Corchete donde converge, paréntesis donde no.

e) Geométrica. La fórmula que no falla no es 1/(1 − r), que sólo vale arrancando en n = 0, sino:

suma = primer término / (1 − razón) = (1/3)/(1 − 1/3) = (1/3)/(2/3) = 1/2

Si contestaste 3/2, te pasó lo de siempre: usaste 1/(1 − 1/3), que incluye el término n = 0. Ese término vale (1/3)⁰ = 1, y 3/2 − 1 = 1/2 ✓ — la diferencia entre las dos respuestas es exactamente el término que sobra.

Control por sumas parciales: 1/3 = 0,333; +1/9 = 0,444; +1/27 = 0,481; +1/81 = 0,494… se apoya contra 0,5 sin pasarse, como muestra el dibujo.

Leerlo resuelto no es lo mismo que rendirlo. Acá lo podés hacer entero sin que te corrija nada hasta entregarlo, igual que en el aula, y recién ahí te dice la nota, cómo se resolvía cada ejercicio y a qué temas te conviene volver.

Rendir el segundo parcial →

Ver todos los temas de Análisis I