Análisis Matemático del CBC, tema por tema

Análisis Matemático es la materia con la que más gente tropieza en el CBC, y casi nunca por falta de estudio: el salto de la matemática del secundario a ésta es un cambio de reglas. En el secundario alcanzaba con aplicar una fórmula al caso que te daban. Acá te piden justificar por qué la fórmula se puede aplicar, y la mitad de los ejercicios de parcial son exactamente los casos donde no se puede.

Abajo está el programa entero, dividido como lo dan las prácticas. Cada tema tiene su propia página con la explicación completa, un ejemplo resuelto renglón por renglón y los errores en los que se cae la mayoría. Si querés practicar, cada uno termina en ejercicios que te corrigen en cada paso y no sólo al final.

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Todos los temas

Unidad 1 — La recta real y funciones elementales

1.1 Números reales e intervalosUn intervalo es un pedazo de la recta real. Todo el trabajo del cuatrimestre — dominios, conjuntos de positividad, soluciones de inecuaciones — se termina escribiendo como…
1.2 Funciones: dominio, imagen y composiciónUna función es una máquina: entra un número, sale exactamente uno. Todo el resto del año vas a estar preguntándote qué le podés meter (dominio), qué puede salir (imagen) y qué…
1.3 Función linealLa pendiente no es "un número que acompaña a la x": es la respuesta a "si x avanza 1, ¿cuánto cambia f?". Esa lectura es la que después se convierte en la derivada.
1.4 Función módulo (valor absoluto)|x| es la distancia de x al cero. Toda ecuación o inecuación con módulo se resuelve traduciéndola a "distancia", o partiendo en casos según el signo de lo que está adentro.
1.5 Función cuadráticaToda parábola es la misma parábola y = x² estirada y corrida. Encontrar el vértice es encontrar dónde la corriste, y eso resuelve de una todos los problemas de máximos y mínimos…
1.6 Funciones polinómicas y raíz cuadradaCon un polinomio factorizado sabés todo: dónde vale cero, qué signo tiene en cada tramo y cómo es su gráfico a grandes rasgos. Factorizar bien es la habilidad que más rinde en…
1.7 Funciones racionalesUna racional es un cociente de polinomios. Todo lo raro que hace (asíntotas, agujeros) pasa donde el denominador se anula, así que el análisis siempre arranca factorizando arriba…
1.8 Funciones homográficasToda homográfica es la hipérbola 1/x movida de lugar. Si la escribís como A/(x−B) + C, las dos asíntotas te las está diciendo la fórmula: x = B y y = C.

Unidad 2 — Límites y continuidad

2.1 Límites en el infinito y asíntotas horizontalesCuando x se va a infinito, lo único que importa es el término que crece más rápido. Todo lo demás se vuelve despreciable, y el límite se decide comparando "quién gana".
2.2 Límites en un puntoUn límite en x₀ no pregunta cuánto vale f en x₀, sino a qué valor se acerca f cuando x se acerca a x₀. Son dos preguntas distintas, y ahí está toda la gracia del tema.
2.3 ContinuidadUna función es continua en un punto si el límite existe, el punto está en el dominio, y los dos coinciden. Las tres condiciones son distintas y cada una puede fallar sola.
2.4 Teorema de BolzanoSi una función continua pasa de negativa a positiva, en algún lado tuvo que valer cero. Suena obvio, pero es un teorema potente: garantiza que existe una raíz sin decirte cuál.

Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos

3.1 Funciones trigonométricasSeno y coseno son las coordenadas de un punto que gira en la circunferencia de radio 1. Todo lo demás — los valores notables, los signos por cuadrante, la periodicidad — sale de…
3.2 Identidades, gráficos y periodicidadA·sen(Bx + C) + D es siempre la misma onda: A la estira en altura, B la comprime en el tiempo, C la corre de lado y D la sube. Reconocer cada letra es leer el gráfico sin…
3.3 Límites trigonométricos notablessen(x)/x tiende a 1 cuando x→0 porque, cerca del cero, el seno y el ángulo son casi lo mismo. Ese único hecho resuelve toda la familia de límites trigonométricos.
3.4 Exponenciales y logaritmosEl logaritmo es la función que deshace la exponencial. Toda ecuación con x en el exponente se resuelve aplicando logaritmo, y toda ecuación con logaritmos se resuelve aplicando…
3.5 El número e y sus límitese aparece como el límite de (1 + 1/x)^x: una base que se acerca a 1 peleando contra un exponente que se va a infinito. Reconocer esa pelea es todo el tema.
3.6 Resolución de triángulos: teoremas del seno y del cosenoEn un triángulo rectángulo alcanza con seno, coseno y tangente. En uno cualquiera hacen falta dos teoremas más, y la única decisión real es cuál de los dos usar según qué datos…

Unidad 4 — Derivadas y recta tangente

4.1 Cociente incremental y derivada en un puntoLa derivada es la pendiente de la recta tangente. Y se consigue tomando la pendiente de una secante y acercando los dos puntos hasta que se toquen: eso es exactamente un límite.
4.2 Reglas de derivaciónNadie deriva por definición en el parcial. Se usa una tabla de derivadas elementales más cuatro reglas, y el 90% del trabajo es identificar qué forma tiene la función antes de…
4.3 Regla de la cadenaCuando una función está metida adentro de otra, derivás la de afuera dejando la de adentro quieta, y después multiplicás por la derivada de la de adentro. Ese "y después…
4.4 Recta tangente y recta normalCon la derivada tenés la pendiente y con el punto tenés el resto: la ecuación de la tangente sale de una fórmula sola, y es de los ejercicios más seguros del parcial.
4.5 Derivabilidad y continuidadDerivable implica continua, pero no al revés. |x| es el contraejemplo que hay que tener siempre a mano: es continua en 0 y no es derivable ahí.
4.6 Tasas de cambio relacionadasSi dos cantidades están relacionadas por una ecuación, sus velocidades de cambio también lo están: se consigue derivando la ecuación respecto del tiempo.
4.7 Derivada de la función inversaSi conocés la pendiente de f en un punto, la de su inversa en el punto espejo es la inversa de ese número. Una sola fórmula, y de ella salen las derivadas de arcsen, arccos y…

Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial

5.1 Teorema de RolleSi una función suave sale y vuelve a la misma altura, en algún momento tuvo que aplanarse. Ese punto donde la tangente queda horizontal es lo que garantiza Rolle.
5.2 Teorema del valor medio (Lagrange)La velocidad promedio en un viaje siempre se alcanza en algún instante puntual. Eso es Lagrange, y es el teorema más útil de toda la materia.
5.3 Regla de L'HôpitalAnte 0/0 o ∞/∞, derivás arriba y abajo por separado (no es la regla del cociente) y volvés a probar. Es la herramienta más cómoda del curso y también la más maltratada.
5.4 Crecimiento, decrecimiento y extremosEl signo de la primera derivada te dice si la función sube o baja. Donde cambia de signo, hay un máximo o un mínimo. Todo el estudio de funciones sale de ahí.
5.5 Concavidad y puntos de inflexiónLa segunda derivada dice cómo se curva el gráfico: si la sonrisa mira para arriba o para abajo. Los puntos donde cambia esa curvatura son las inflexiones.
5.6 Problemas de optimizaciónTodo problema de optimización es el mismo: escribir lo que querés optimizar en función de UNA variable, derivar, igualar a cero. Lo difícil no es el cálculo, es armar la función.

Unidad 6 — Aproximación polinomial

6.1 Aproximación lineal y diferencialesCerca de un punto, toda función derivable se parece a su recta tangente. Esa es la idea que sostiene medio cálculo aplicado: reemplazar algo complicado por una recta y aceptar un…
6.2 Polinomio de TaylorSi con una recta la aproximación es buena, con una parábola es mejor, y con un polinomio de grado n mejor todavía. Taylor construye ese polinomio pidiendo que todas las derivadas…
6.3 Resto de Taylor y cotas de errorAproximar sin saber cuánto te equivocás no sirve para nada. El resto de Lagrange te da una cota del error, y con eso podés decidir qué orden usar.

Unidad 7 — Cálculo integral

7.1 Primitivas e integral indefinidaIntegrar es derivar al revés: buscar la función que, al derivarla, te da la que tenés. Y como la derivada de una constante es cero, siempre hay infinitas respuestas: por eso el +C.
7.2 Método de sustituciónEs la regla de la cadena leída al revés. Si adentro de la integral ves una función y también su derivada multiplicando, sustituís y el problema se derrumba.
7.3 Integración por partesEs la regla del producto al revés. Sirve cuando el integrando es un producto de dos cosas de naturaleza distinta: un polinomio con una exponencial, con un seno, o con un logaritmo.
7.4 Ecuaciones diferenciales de variables separablesUna ecuación diferencial no busca un número: busca una función. Y las de variables separables se resuelven acomodando cada variable de un lado e integrando los dos lados.
7.5 Integral definida y Regla de BarrowLa integral definida nace como un área calculada con infinitos rectangulitos. La Regla de Barrow dice que ese límite monstruoso se calcula evaluando una primitiva en dos puntos.
7.6 Teorema Fundamental del CálculoDerivar e integrar son operaciones inversas. El teorema lo dice con precisión: si integrás una función desde un punto fijo y después derivás, volvés a la función original.
7.7 Áreas, volúmenes e integrales impropiasLa integral definida sirve para mucho más que áreas: volúmenes de revolución, longitudes de curva, y hasta regiones infinitas que sorprendentemente tienen área finita.

Unidad 8 — Sucesiones y series

8.1 Sucesiones y su límiteUna sucesión es una lista infinita numerada. La única pregunta que importa es a dónde va cuando n crece, y para contestarla sirve todo lo que ya sabés de límites en el infinito.
8.2 Teorema del sándwichSi una sucesión queda atrapada entre otras dos que van al mismo lugar, no le queda otra que ir ahí también. Sirve especialmente cuando hay senos, cosenos o factoriales de por…
8.3 Series numéricas y series geométricasUna serie es sumar infinitos términos. Suena imposible, pero se define como el límite de las sumas parciales — y a veces da un número finito perfectamente concreto.
8.4 Criterios de convergenciaCasi ninguna serie se puede sumar exactamente. Los criterios no calculan la suma: solo deciden si existe o no, que muchas veces es todo lo que hace falta.
8.5 Series de potenciasUna serie de potencias es un polinomio infinito. Converge solo dentro de un radio alrededor de su centro, y adentro de ese radio se comporta como una función común y corriente.