Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos
Límites trigonométricos notables
sen(x)/x tiende a 1 cuando x→0 porque, cerca del cero, el seno y el ángulo son casi lo mismo. Ese único hecho resuelve toda la familia de límites trigonométricos.
La explicación
El límite fundamental
Al reemplazar da 0/0, así que no es trivial: hay que probarlo. La intuición es que para ángulos chiquitos el arco y su seno son prácticamente indistinguibles, y la demostración formaliza exactamente eso.
De dónde sale, en cuatro pasos
Se arma con la circunferencia unitaria, y conviene entenderlo porque el parcial a veces lo pide:
2. Se comparan tres regiones, cada una adentro de la siguiente: el triángulo OAP, de área sen(x)/2; el sector circular OAP, de área x/2; y el triángulo grande que se forma al prolongar OP hasta la tangente por A, de área tan(x)/2.
3. De ahí sale sen(x) ≤ x ≤ tan(x). Dividiendo todo por sen(x) queda 1 ≤ x/sen(x) ≤ 1/cos(x), y dando vuelta las tres: cos(x) ≤ sen(x)/x ≤ 1.
4. Como cos(x) → 1 cuando x → 0, el teorema del sándwich obliga a que sen(x)/x también tienda a 1.
El orden de las tres áreas es lo único que hay que recordar, y se ve en el dibujo: el triángulo de adentro tiene los mismos dos lados que el sector pero la cuerda en vez del arco, y el de afuera tiene la tangente, que es más larga todavía.
El mismo dibujo sirve antes para probar que sen(x) → 0 y cos(x) → 1, o sea que seno y coseno son continuos en el origen. Ése es el resultado que después permite calcular límites trigonométricos reemplazando, cuando no hay indeterminación.
Sólo vale en radianes
Si midieras en grados, el mismo límite daría π/180 ≈ 0,01745. No es un detalle de notación: toda la fórmula de la derivada del seno depende de que este límite valga exactamente 1. Es la razón de fondo por la que Análisis trabaja en radianes.
La familia completa
límx→0 tan(x)/x = 1
límx→0 (1 − cos x)/x = 0
límx→0 (1 − cos x)/x² = 1/2
Los dos últimos se confunden todo el tiempo y son distintos: con x en el denominador da 0, con x² da 1/2. La diferencia es que 1 − cos(x) se parece a x²/2 cerca del cero, no a x.
(1 − cos x)/x² · (1 + cos x)/(1 + cos x) = (1 − cos²x)/(x²(1 + cos x)) = sen²(x)/(x²(1 + cos x))
= [sen(x)/x]² · 1/(1 + cos x) → 1 · 1/2 = 1/2
La técnica: forzar que coincidan
La clave es que el argumento del seno tiene que ser exactamente lo que está dividiendo. Si no coincide, se multiplica y se divide por lo que falte.
Ejemplo: sen(5x)/x no está en forma, pero sen(5x)/x = 5·sen(5x)/(5x), y ahora sí tiende a 5·1 = 5.
Con dos senos se arma cada pedazo por separado:
La regla mental que resume todo: cerca del cero, sen(algo) se comporta como ese algo. Con eso, sen(5x)/sen(3x) "es" 5x/3x, y ya sabés la respuesta antes de escribir la cuenta. La cuenta después la justifica.
Cuando el punto no es el cero
Los notables son todos en x → 0. Si te piden un límite en otro punto, hay que sustituir para llevarlo al cero. Para calcular el límite en x → 1 de sen(x − 1)/(x² − 1), llamás u = x − 1 (que tiende a 0) y reescribís todo en u.
Calcular lím(x→0) sen(6x)/tan(2x).
Reemplazando x = 0 queda sen(0)/tan(0) = 0/0: hay que trabajarlo.
Paso 1: separar la tangente. Conviene escribirla como cociente, porque los notables están en términos de seno:
Paso 2: armar cada pedazo en la forma del notable. Multiplico y divido por lo que falta:
Paso 3: tomar límite en cada factor.
- sen(6x)/6x → 1, porque 6x → 0 y el argumento coincide con el denominador.
- 2x/sen(2x) → 1, que es el mismo notable dado vuelta.
- cos(2x) → cos(0) = 1, porque el coseno es continuo.
- 6x/2x = 3, que no es un límite: se simplifica y queda la constante.
El atajo para anticiparlo: cerca del cero sen(6x) se parece a 6x y tan(2x) se parece a 2x, así que el cociente se parece a 6x/2x = 3. Sabiendo la respuesta de antemano, la cuenta pasa a ser una verificación en vez de una búsqueda a ciegas.
Control numérico. Con x = 0,001 la expresión original da 2,99998 ✔ (con x = 0,0001 ya da 2,9999998) Si te da algo muy distinto de lo que esperabas, casi siempre es que quedó un factor sin acomodar o la calculadora está en grados.
Calcular lím(x→0) (1 − cos(3x))/(x·sen(2x)) y lím(x→0) tg(5x)/(x + sen(3x)), indicando qué límite notable se usa en cada caso.
Los dos son 0/0, y los dos se salvan con los mismos dos límites notables, que conviene tener a mano:
límu→0 (1 − cos(u))/u² = 1/2
Primer límite. Aparece 1 − cos(3x), así que se busca que quede dividido por (3x)². Se multiplica y se divide por lo que haga falta, sin cambiar nada:
El primer corchete ya es el notable y tiende a 1/2. El segundo se acomoda solo:
Y eso también se lleva a un notable, multiplicando y dividiendo por 2:
Se junta todo:
El atajo que conviene saber. Cerca de cero valen las aproximaciones sen(u) ≈ u y 1 − cos(u) ≈ u²/2. Reemplazando de una:
Sirve para controlar el resultado en dos renglones, aunque en el parcial conviene escribir el desarrollo completo.
Segundo límite. Hay una tangente arriba y una suma abajo. La tangente se abre como seno sobre coseno:
El coseno no molesta —tiende a cos 0 = 1— así que el trabajo está en el resto. Se divide arriba y abajo por x:
Cada paréntesis tiende a 1:
Control numérico de los dos, con x = 0,00001:
segundo ≈ 1,25 = 5/4 ✓
Dónde se pierde el punto: escribir lím (1 − cos 3x)/(3x)² = 1/2 pero dividir por 3x² en vez de 9x². El notable pide el argumento al cuadrado, y el argumento es 3x, así que abajo va 9x².
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarlo con la variable en grados. Solo vale en radianes.
- Escribir sen(5x)/x = 5 sin justificar el paso intermedio: hay que mostrar el arreglo.
- Usar sen(x)/x = 1 lejos del cero. El límite es cuando x → 0, no una identidad.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Límites trigonométricos notables →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un triángulo con dos soluciones y tres límites25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Trigonométricas, exponenciales y logaritmos