Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos

Exponenciales y logaritmos

El logaritmo es la función que deshace la exponencial. Toda ecuación con x en el exponente se resuelve aplicando logaritmo, y toda ecuación con logaritmos se resuelve aplicando exponencial.

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La explicación

La exponencial

f(x) = a^x, con a > 0 y a ≠ 1

Las restricciones sobre la base no son caprichosas: con a negativo la potencia no está definida para todos los reales (¿cuánto vale (−2)^1/2?), y con a = 1 la función es la constante 1.

Dominio: todo ℝ. Imagen: (0, +∞) — la exponencial nunca vale 0 ni negativo.
Pasa siempre por (0, 1), porque a⁰ = 1 para cualquier base.
Si a > 1 es creciente; si 0 < a < 1 es decreciente.
El eje x es asíntota horizontal: y = 0 de un lado (a la izquierda si a > 1, a la derecha si a < 1).
Es inyectiva siempre, y por eso se puede invertir.

Lo que la caracteriza: en una función lineal lo que se mantiene constante es cuánto suma por cada paso; en una exponencial, por cuánto multiplica. De ahí que se use para todo lo que crece o decrece por porcentaje: poblaciones, intereses, decaimiento radiactivo.

El logaritmo es la inversa

log_a(x) = y ⟺ a^y = x

Todo lo del logaritmo sale de leer esa equivalencia al revés. Como la exponencial va de ℝ en (0, +∞), su inversa va de (0, +∞) en ℝ:

Dom(log) = (0, +∞) Im(log) = ℝ

El logaritmo de un número negativo o de cero no existe, y ésa es la restricción que hay que imponer siempre al hallar dominios. El eje y es asíntota vertical.

Los dos gráficos son simétricos respecto de y = x, como cualquier par de función e inversa.

Propiedades, y las que no existen

log(a·b) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b
log(aⁿ) = n·log a
log_a(1) = 0 log_a(a) = 1

Las tres primeras son las que convierten productos en sumas, y por eso el logaritmo se inventó. La tercera, que baja el exponente, es la que resuelve casi todas las ecuaciones exponenciales.

Y las que no valen, que es lo que más se toma:
log(a + b) no es log a + log b.
log(a)/log(b) no es log(a/b).
(log a)ⁿ no es n·log a — el exponente tiene que estar adentro.

Cambio de base, para cuando la calculadora sólo tiene ln y log₁₀:

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Ecuaciones exponenciales

Dos estrategias, según se pueda o no igualar las bases:

Misma base: si llegás a a^A = a^B, entonces A = B, porque la exponencial es inyectiva. Es el camino limpio: 2^x = 8 se resuelve viendo que 8 = 2³.
Bases distintas: se aplica logaritmo a los dos lados y se baja el exponente.

Ecuaciones logarítmicas y la verificación obligatoria

Se usan las propiedades para juntar todo en un solo logaritmo y después se aplica la definición. Pero hay un paso que no es opcional:

Al juntar logaritmos, el dominio se agranda. log(x) + log(x−2) sólo existe si x > 2, pero log(x(x−2)) existe también para x < 0.
Por eso toda solución hay que verificarla en la ecuación original: las que caen fuera del dominio son soluciones falsas que el propio método fabricó.

Modelos de crecimiento y decaimiento

N(t) = N₀·a^t/T

N₀ es el valor inicial y T el tiempo que tarda en multiplicarse por a. Con a = 2, T es el tiempo de duplicación; con a = 1/2, la vida media.

El control que nunca falla: N(0) tiene que dar el valor inicial. Si no da, la fórmula está mal armada, y casi siempre es porque el exponente quedó t·T en vez de t/T.

Para despejar el tiempo hay que usar logaritmo, y si el número no es una potencia exacta de la base, no queda otra que la calculadora:

t = T·log_a(N/N₀)

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Resolver log₂(x) + log₂(x − 2) = 3, indicando primero el dominio.

El dominio, antes que nada. Los dos logaritmos tienen que existir:

x > 0 y x − 2 > 0

La condición más fuerte manda, así que el dominio es x > 2. Esto se escribe antes de resolver, no después: es lo que después permite descartar sin dudar.

Juntar los logaritmos con la propiedad del producto:

log₂(x(x − 2)) = 3

Aplicar la definición de logaritmo: si log₂(A) = 3, entonces A = 2³ = 8.

x(x − 2) = 8 ⟹ x² − 2x − 8 = 0

Resolver la cuadrática. Con Δ = 4 + 32 = 36:

x = (2 ± 6)/2 ⟹ x = 4 o x = −2

Descartar. El dominio era x > 2:

x = 4 sirve.
x = −2 no sirve: log₂(−2) no existe. Es una solución falsa que apareció al juntar los logaritmos, porque log₂(x(x−2)) sí está definido en x = −2 aunque los dos originales no lo estén.

S = {4}

Verificación en la ecuación original, que es lo que cierra el ejercicio:

log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3 ✔

Los dos argumentos, 4 y 2, son positivos ✔ Control extra: 2³ = 8 y 4·2 = 8, así que el paso de juntar los logaritmos estaba bien hecho ✔

Por qué importa. Contestar {4, −2} es el error más frecuente de este tema, y no es un descuido de cuentas: es haber saltado el paso del dominio. Juntar logaritmos agranda el conjunto donde la expresión tiene sentido, así que el método puede inventar soluciones. Verificar no es prolijidad, es parte del procedimiento.

Y uno del nivel del parcial

Resolver 3^(2x) − 4·3^x + 3 = 0 y, por separado, ln(x + 3) − ln(x − 1) = ln 5. Indicar el dominio antes de resolver la segunda.

La primera parece una exponencial rara y es una cuadrática disfrazada. La clave está en ver que 3^(2x) es (3^x)²:

3^(2x) = (3²)^x = 9^x, y también 3^(2x) = (3^x)²

Se sustituye t = 3^x, con la condición t > 0 (una exponencial nunca es negativa ni cero):

t² − 4t + 3 = 0
(t − 1)(t − 3) = 0 → t = 1 o t = 3

Las dos sirven, porque las dos son positivas. Se vuelve a x:

3^x = 1 → x = 0
3^x = 3 → x = 1

S₁ = {0 ; 1}

Control, reemplazando en la original:

x = 0: 3⁰ − 4·3⁰ + 3 = 1 − 4 + 3 = 0 ✓
x = 1: 3² − 4·3 + 3 = 9 − 12 + 3 = 0 ✓

Si alguna t hubiera dado negativa, había que descartarla ahí mismo: no existe x con 3^x = −2. Ese descarte es parte de la respuesta, no un detalle.

La segunda ecuación: primero el dominio. Los dos logaritmos piden argumento positivo, y hay que pedirlo antes de operar:

x + 3 > 0 → x > −3
x − 1 > 0 → x > 1

Dom = (1 ; +∞)

Ahora sí, con la propiedad de la resta de logaritmos:

ln((x + 3)/(x − 1)) = ln 5

El logaritmo es inyectivo, así que si los logaritmos son iguales los argumentos también:

(x + 3)/(x − 1) = 5
x + 3 = 5x − 5
8 = 4x → x = 2

El control final es contra el dominio: 2 > 1 ✓, la solución sirve. Y en la ecuación original:

ln 5 − ln 1 = ln 5 − 0 = ln 5 ✓

Por qué el dominio va antes y no después. Al aplicar la propiedad del cociente se pierde información: ln(a) − ln(b) y ln(a/b) tienen dominios distintos. Si x fuera −4, el cociente daría positivo pero ninguno de los dos logaritmos existiría.

Dónde se pierde el punto: en la primera, contestar t = 1 y t = 3 como si fueran las x. Son los valores de 3^x, falta el último paso. En la segunda, no escribir el dominio y quedarse sin el medio punto aunque el número esté bien.

Dónde se cae la mayoría

Escribir ln(a + b) = ln a + ln b. Falso. La propiedad es para el producto, no para la suma.
Olvidar verificar el dominio y quedarse con soluciones que hacen ln de un número negativo.
Simplificar ln(x)/ln(y) como ln(x/y). Eso tampoco existe.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Dos condiciones y un dominio25 puntos · resuelto paso a paso
Primer parcial — La que tiene que pegar, y una raíz que existe25 puntos · resuelto paso a paso

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Trigonométricas, exponenciales y logaritmos

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