Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos
El número e y sus límites
e aparece como el límite de (1 + 1/x)^x: una base que se acerca a 1 peleando contra un exponente que se va a infinito. Reconocer esa pelea es todo el tema.
La explicación
La definición
Es una indeterminación del tipo 1∞, y conviene entender por qué es indeterminada: la base tiende a 1 (y 1 elevado a cualquier cosa da 1, lo que empujaría el resultado hacia 1), pero el exponente se va a infinito (y algo estrictamente mayor que 1 elevado a infinito explota). Las dos fuerzas se equilibran y dan un número finito, que no es ni 1 ni ∞.
La clave está en que la base nunca vale exactamente 1: vale 1 + algo chiquito, y ese "algo chiquito" multiplicado por un exponente enorme es lo que decide el resultado. Ésa es toda la intuición del tema.
La forma general
Y la versión que resuelve cualquier caso, que es la que conviene tener a mano:
e elevado al límite de f(x)·g(x).
O sea: calculás ese producto y listo. Las dos hipótesis hay que verificarlas: si f no tiende a 0, no es una indeterminación 1∞ y la receta no aplica.
Por ejemplo, para (1 + 3/x)2x: acá f = 3/x y g = 2x, así que f·g = 6 y el límite es e6. Sin sustituciones ni acomodos.
Cómo reconocerlo
Antes de aplicar nada hay que confirmar que es 1∞. Si la base tiende a un número distinto de 1, no hay indeterminación y se reemplaza directo:
- (1 + 1/x)x → indeterminado, da e.
- (2 + 1/x)x → la base tiende a 2, así que se va a +∞. No es indeterminado.
- (1 − 1/x)x → indeterminado, y da e−1 = 1/e.
- (1 + 1/x²)x → indeterminado, pero f·g = 1/x → 0, así que da e⁰ = 1.
El último es el más instructivo: el hecho de ser 1∞ no garantiza que dé e. Da e elevado a lo que dé el producto, y ese producto puede ser cualquier cosa, incluido 0.
La otra cara: logaritmos
El número e es la base del logaritmo natural, que se escribe ln. Las propiedades son las de cualquier logaritmo:
ln(an) = n·ln a ln(e) = 1 ln(1) = 0
Una técnica que aparece seguido: para un límite de la forma [f(x)]g(x), se puede escribir la potencia como exponencial y bajar el exponente con el logaritmo:
Así el problema se reduce a calcular el límite del exponente, que suele ser más fácil. Es el camino largo, pero funciona siempre, también cuando la receta de arriba no se puede acomodar.
Los otros dos notables
límx→0 ln(1 + x)/x = 1
Son "primos" de sen(x)/x: los tres dicen que cerca del cero esas funciones se parecen a la recta y = x. Y se generalizan igual, forzando que el argumento coincida con el denominador:
Los dos son la misma afirmación dada vuelta, porque la exponencial y el logaritmo son inversas una de la otra.
Dónde aparece esto de verdad
El e no es una curiosidad: un capital que se capitaliza n veces por año crece como (1 + i/n)n, y cuando n se va a infinito — capitalización continua — el factor tiende a ei. El mismo límite describe el crecimiento de poblaciones y el decaimiento radiactivo. Es la razón por la que la exponencial de base e es la que se usa en todos los modelos.
Calcular lím(x→+∞) (1 + 2/x)^(5x), y compararlo con lím(x→+∞) (1 + 2/x²)^(5x).
Paso 1: confirmar que es una indeterminación. La base 1 + 2/x tiende a 1 y el exponente 5x se va a +∞. Es 1∞ ✔ Si la base tendiera a otra cosa, no habría nada que hacer.
Paso 2: identificar f y g.
Paso 3: el producto.
Es constante, así que su límite es 10 y el resultado es
El camino largo, para verificar. Escribiendo 2/x = 1/(x/2) y llamando u = x/2, queda x = 2u y el exponente 5x se vuelve 10u:
Los dos caminos coinciden. La receta del producto es la sustitución ya hecha de una vez para siempre.
Ahora el que engaña. ¿Cuánto vale el límite de (1 + 2/x²)5x?
Sigue siendo 1∞, así que la tentación es contestar e10 de nuevo. Pero el producto cambia:
Acá el "algo chiquito" de la base se hace chico más rápido de lo que el exponente crece, y gana la base. Ser 1∞ no significa que dé e: hay que hacer el producto siempre.
Control numérico. Con x = 10.000: el primero da 22.004 y e10 = 22.026 ✔; el segundo da 1,001 y tiende a 1 ✔
Calcular lím(x→+∞) ((3x + 2)/(3x − 1))^x, y decidir qué pasa con el mismo límite si el exponente fuera x² en lugar de x.
Se reconoce la indeterminación primero. La base tiende a 1 (el cociente de dos polinomios del mismo grado, con el mismo coeficiente principal) y el exponente a +∞: es 1∞, que es indeterminada.
La herramienta es el número e, que se define exactamente para esta situación:
El primer paso es siempre el mismo: escribir la base como 1 + algo. Se resta 1 y se vuelve a sumar:
Ese 3/(3x − 1) es «lo chico». Se llama u a su inverso:
El corchete tiende a e, así que todo depende del exponente de afuera:
La regla práctica que resume todo esto: en un 1∞, el resultado es e elevado al límite de (base − 1)·exponente. Acá:
lím = e¹ = e ✓
Los dos caminos dan lo mismo, que es el control.
La segunda pregunta, con exponente x². Se usa la misma regla:
Qué muestra la comparación. En un 1∞ pelean dos cosas: la base que se acerca a 1 y el exponente que crece. Con exponente x están empatados —la base se acerca a 1 al ritmo 1/x— y el resultado es un número finito, e. Con exponente x² gana el exponente y el límite explota. No hay respuesta automática para 1∞: hay que medir quién va más rápido.
Control numérico del primero: con x = 1.000.000 la expresión vale 2,7183, que es e con cuatro decimales ✓.
Dónde se pierde el punto: contestar 1 «porque la base tiende a 1», o contestar ∞ «porque el exponente tiende a ∞». Las dos son el error clásico: 1∞ es indeterminado, y por eso hay que hacer la cuenta.
Dónde se cae la mayoría
- Contestar 1 en una indeterminación 1^∞ porque "1 elevado a lo que sea da 1". Ese es justamente el error que hace que sea indeterminación.
- En (1 + 2/x)^(3x), contestar e² olvidándose de multiplicar por el 3 del exponente.
- Aplicar (e^x−1)/x = 1 lejos del cero.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar El número e y sus límites →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un triángulo con dos soluciones y tres límites25 puntos · resuelto paso a paso
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