Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos
Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno
En un triángulo rectángulo alcanza con seno, coseno y tangente. En uno cualquiera hacen falta dos teoremas más, y la única decisión real es cuál de los dos usar según qué datos tengas.
La explicación
La convención de nombres, que acá importa
Los vértices se llaman con letras mayúsculas y los ángulos con las griegas correspondientes. La regla que hay que tener grabada es:
el lado b es el opuesto a β
el lado c es el opuesto a γ
Casi todos los errores de este tema son de nombres, no de cuentas: se aplica bien el teorema pero con el lado equivocado.
Si el triángulo es rectángulo
No hacen falta teoremas nuevos. Con la hipotenusa y los catetos:
cos(θ) = cateto adyacente / hipotenusa
tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente
Y las tres recíprocas: cotan = 1/tan, sec = 1/cos, cosec = 1/sen.
Teorema del seno
Cuándo se usa: cuando tenés un lado y su ángulo opuesto formando pareja, más un dato más. O sea, los casos ángulo-lado-ángulo y lado-lado-ángulo.
Teorema del coseno
y las dos versiones análogas para b y c. Fijate que si α = 90°, el coseno vale 0 y queda a² = b² + c²: el teorema del coseno es Pitágoras con un término de corrección. Ése es el mejor modo de acordárselo.
Cuándo se usa: cuando NO tenés ninguna pareja lado-ángulo opuesto completa. Los dos casos son lado-ángulo-lado (dos lados y el ángulo entre ellos) y lado-lado-lado (los tres lados, para sacar un ángulo).
Cómo elegir, en una línea
¿No? → coseno, que te va a dar justamente esa pareja, y después podés seguir con el seno.
El área
Dos lados y el ángulo entre ellos. Es la fórmula de siempre (base por altura sobre dos) con la altura escrita como c·sen(α).
El caso ambiguo, que es donde se cae la mayoría
Cuando despejás un ángulo del teorema del seno obtenés algo como sen(β) = 0,83. La calculadora devuelve un solo valor, pero hay dos ángulos entre 0° y 180° con ese seno: β y 180° − β. Los dos pueden dar un triángulo válido.
Con el teorema del coseno esto no pasa: el arcocoseno da un único ángulo entre 0° y 180°, así que si podés elegir, elegí coseno.
Un triángulo tiene lados b = 5, c = 8 y el ángulo α = 60° entre ellos. Hallar el lado a, el ángulo β y el área.
Elijo el teorema. Tengo dos lados y el ángulo que forman, y ninguna pareja lado-ángulo opuesto. Va el coseno.
a² = 25 + 64 − 2·5·8·cos(60°)
a² = 89 − 80·(1/2) = 89 − 40 = 49
a = 7
Salió exacto porque cos(60°) = 1/2. Conviene tener a mano los tres valores notables: cos(60°) = 1/2, cos(45°) = √2/2, cos(30°) = √3/2.
Ahora β. Ya tengo la pareja completa (a = 7 con α = 60°), así que puedo usar el seno:
sen(β) = 5·sen(60°)/7 = 5·0,8660/7 ≈ 0,6186
β ≈ 38,21°
¿Y el otro candidato, 180° − 38,21° = 141,79°? No sirve: 60° + 141,79° ya pasa de 180°. Queda descartado, pero había que mirarlo.
El área, con los dos lados y el ángulo entre ellos:
Control. El tercer ángulo es γ = 180° − 60° − 38,21° = 81,79°. Verifico con el teorema del coseno, que es un camino independiente: cos(γ) = (a² + b² − c²)/(2ab) = (49 + 25 − 64)/70 = 10/70 ≈ 0,1429, y arccos(0,1429) ≈ 81,79° ✔ Los dos caminos coinciden.
Otro control gratis: al lado más largo le tiene que corresponder el ángulo más grande. El lado mayor es c = 8 y el ángulo mayor es γ = 81,79°, que es el opuesto a c ✔
Desde un punto A del suelo, la punta de un poste vertical se ve con un ángulo de elevación de 30°. Caminando 20 m hacia el poste, en línea recta, se llega a un punto B desde el cual se ve con 45°. Hallar la altura del poste. (tg 30° ≈ 0,577 · tg 45° = 1)
El dibujo es la mitad del ejercicio. Un poste vertical de altura h, su pie P, y sobre la recta del suelo los puntos B (más cerca) y A (a 20 m más de B). Quedan dos triángulos rectángulos con el mismo cateto vertical h.
Se llama d a la distancia de B al pie del poste. Entonces A está a d + 20. Con la tangente en cada triángulo:
tg 30° = h/(d + 20)
El triángulo de 45° regala el primer dato: como tg 45° = 1, la distancia es igual a la altura. Ese es el atajo del ejercicio.
Se reemplaza d = h en la otra ecuación:
h = (h + 20)·tg 30°
Conviene usar tg 30° = 1/√3 y no el decimal, para que el resultado salga exacto:
h·(√3 − 1) = 20
h = 20/(√3 − 1)
Se racionaliza, multiplicando arriba y abajo por (√3 + 1):
El segundo camino, por el teorema del seno. Sirve de control y es el que hay que usar si los ángulos no fueran tan cómodos. En el triángulo A–B–punta: el ángulo en A vale 30°, el ángulo en B es el suplementario de 45° (porque B está entre A y el pie), o sea 135°, y entonces el de la punta vale 180° − 30° − 135° = 15°.
B–punta = 20·sen 30° / sen 15° = 10/sen 15°
Y la altura sale del triángulo rectángulo en B:
Los dos caminos dan lo mismo. Eso es lo que hay que buscar siempre que un ejercicio se pueda hacer de dos formas: no es tiempo perdido, es la única verificación real que tenés en un parcial.
Control de razonabilidad: el poste mide 27 m y desde B (que está a 27 m) se lo ve a 45°, o sea en diagonal perfecta. Coherente con el dibujo.
Dónde se pierde el punto: poner tg 30° = h/(d − 20), restando en vez de sumar. A está más lejos que B: si se camina hacia el poste, el punto de partida estaba más atrás.
Dónde se cae la mayoría
- Mezclar los nombres: usar el lado a con el ángulo β. El lado a va SIEMPRE con α.
- En el teorema del coseno, restar 2bc·cos(α) usando un ángulo que no es el opuesto al lado que estás calculando.
- Quedarse con el único ángulo que devuelve la calculadora al despejar del teorema del seno, sin mirar si 180° menos ese ángulo también sirve.
- Tener la calculadora en radianes cuando los datos están en grados. Si un resultado da disparatado, es lo primero que hay que revisar.
- Calcular el área con dos lados y un ángulo que no es el que forman entre ellos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un triángulo con dos soluciones y tres límites25 puntos · resuelto paso a paso
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