Análisis Matemático I · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Cociente incremental y derivada en un punto
La derivada es la pendiente de la recta tangente. Y se consigue tomando la pendiente de una secante y acercando los dos puntos hasta que se toquen: eso es exactamente un límite.
La explicación
De la secante a la tangente
Tomá dos puntos del gráfico y unilos con una recta: eso es una secante, y su pendiente es
Ese cociente se llama cociente incremental: arriba cuánto cambió la función, abajo cuánto cambió la variable. Ahora acercá el segundo punto al primero, o sea hacé h → 0. La secante gira hasta apoyarse en un solo punto, y esa posición límite es la tangente. Su pendiente es la derivada:
Hay una segunda forma de escribir lo mismo, que a veces conviene más:
Son la misma cuenta con x = a + h. La primera es cómoda cuando hay que desarrollar un binomio; la segunda cuando se puede factorizar y cancelar el (x − a).
Las dos lecturas
- Geométrica: f′(a) es la pendiente de la recta tangente en x = a. Positiva, la función sube; negativa, baja; cero, la tangente es horizontal.
- Física: f′(a) es la velocidad de cambio instantánea. Si f es la posición, f′ es la velocidad; si f es el volumen de agua, f′ es el caudal.
La segunda lectura es la que da sentido a las unidades: si f está en metros y x en segundos, f′ está en metros por segundo. En un problema aplicado, decir las unidades de la derivada es parte de la respuesta.
El cociente incremental sin límite es la velocidad media entre dos instantes; la derivada es la instantánea. La diferencia entre las dos es literalmente el paso al límite.
Cómo se calcula por definición
2. Restarle f(a). Los términos sin h se cancelan siempre: si no se cancelan, hay un error de cuenta.
3. Sacar h como factor común arriba y simplificar con el de abajo. Este paso es obligatorio: mientras haya h en el denominador, reemplazar da 0/0.
4. Recién ahí, hacer h → 0.
El paso 3 es el corazón del asunto. Todo el trabajo algebraico —desarrollar, factorizar, racionalizar— existe para poder cancelar esa h.
Derivadas laterales
Como es un límite, tiene sus dos laterales:
La derivada existe sólo si los dos existen y coinciden. Es la herramienta para las funciones definidas por partes: se deriva cada rama y se comparan los valores en el punto de empalme. En |x| en el origen dan −1 y 1, y por eso ahí hay un pico y no hay derivada.
Las notaciones
Todas dicen lo mismo. La de Leibniz (dy/dx) es la más útil cuando hay varias variables en juego, porque dice respecto de qué se está derivando — y eso pasa a importar en cuanto aparecen las tasas relacionadas. Para evaluar en un punto se escribe f′(a) o dy/dx|x=a.
Función derivada
Si en vez de fijar un punto dejás la a libre, obtenés una función nueva: la función derivada, definida en todos los puntos donde el límite existe. Ése es el objeto con el que se trabaja de acá en adelante, y su dominio puede ser más chico que el de f: √x está definida en [0, +∞) pero su derivada sólo en (0, +∞).
Calcular f ′(3) por definición para f(x) = x².
Armo el cociente incremental en x₀ = 3:
Desarrollo el cuadrado completo (acá es donde se pierden puntos):
Saco h de factor común y cancelo:
Ahora sí tomo el límite:
Interpretación: la recta tangente a la parábola en el punto (3, 9) tiene pendiente 6. Y si x² fuera una posición, en el instante 3 la velocidad sería 6.
Por qué se puede cancelar la h
Es el paso que más incomoda: si h tiende a 0, ¿cómo se divide por h? La respuesta está en la definición de límite — h se acerca a 0 pero nunca vale 0, y para todo h ≠ 0 la expresión (6h + h²)/h es igual a 6 + h. Son la misma función salvo en un punto donde la primera ni siquiera está definida, y el límite no mira ese punto. Recién cuando la h quedó afuera del denominador se puede reemplazar por 0.
El control numérico
La definición se puede probar con un h chico concreto: con h = 0,001 el cociente incremental da (3,001² − 9)/0,001 = 6,001, que es 6 + h, exactamente lo que predijo la cuenta. Ese control sirve para cualquier derivada por definición y detecta al toque los errores de desarrollo del cuadrado.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar mal f(x₀+h): si f(x)=x², es (x₀+h)², no x₀²+h².
- Poner h = 0 antes de simplificar. Ahí siempre da 0/0 y no dice nada.
- Confundir la velocidad promedio (cociente incremental, entre dos instantes) con la instantánea (derivada, en un instante).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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