Análisis Matemático I (66) · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Reglas de derivación
Nadie deriva por definición en el parcial. Se usa una tabla de derivadas elementales más cuatro reglas, y el 90% del trabajo es identificar qué forma tiene la función antes de empezar.
La explicación
Tabla de derivadas elementales
(eˣ)′ = eˣ (ax)′ = ax·ln(a)
(ln x)′ = 1/x (loga x)′ = 1/(x·ln a)
(sen x)′ = cos x (cos x)′ = −sen x
(tan x)′ = sec²x = 1/cos²x
La regla de la potencia vale para cualquier exponente real, no sólo naturales. Por eso conviene reescribir antes de derivar:
1/x³ = x⁻³ → derivada −3x⁻⁴
Ese paso de reescritura ahorra la regla del cociente en la mitad de los casos.
Las reglas
(k·f)′ = k·f′
(f·g)′ = f′g + fg′
(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
Las dos primeras son las fáciles: la derivada es lineal. Las otras dos no lo son, y ahí está todo el problema.
El error que hay que sacarse de encima
Lo mismo con el cociente: (f/g)′ no es f′/g′.
En la regla del cociente el orden importa, porque hay una resta: arriba va primero la derivada del numerador por el denominador. Invertirlo cambia el signo de todo el resultado. Una manera de recordarlo: el término que sobrevive cuando g es constante tiene que ser f′g, así que ése va primero.
Antes de derivar, simplificá
Mucho ejercicio que parece pedir la regla del cociente se resuelve sin ella:
- (x³ + 2x)/x = x² + 2, y derivar eso es inmediato.
- x²·x⁵ = x⁷, sin regla del producto.
- ln(x³) = 3·ln(x), sin regla de la cadena.
Mirar la expresión treinta segundos antes de largarse a derivar es, en promedio, la mejor inversión del tema.
Derivadas de orden superior
La derivada de la derivada es la derivada segunda, f″, y se sigue. Cada una dice algo distinto del gráfico:
En física, si f es la posición, f′ es la velocidad y f″ la aceleración. Se usan en serio a partir de la unidad 5, pero conviene practicarlas ya: derivar dos veces seguidas es donde aparecen los errores de signo.
Cómo se practica
La única forma es hacer muchas y verificar. Dos controles que salen gratis:
- Grados: la derivada de un polinomio de grado n tiene grado n − 1. Si te queda del mismo grado, algo falló.
- Un valor: elegí un punto y comparalo con el cociente incremental usando un h chiquito, como 0,001. Si la derivada está bien, los números tienen que parecerse.
Derivar f(x) = x³·ln(x) y g(x) = (x − 3)/(x + 2).
La primera es un producto: u = x³ y v = ln x, entonces u′ = 3x² y v′ = 1/x.
Y el segundo término se simplifica: x³/x = x².
La segunda es un cociente: u = x − 3, v = x + 2, con u′ = 1 y v′ = 1.
= ( x + 2 − x + 3 ) / (x+2)²
= 5 / (x+2)²
Prestá atención al −(x−3) = −x+3: ese cambio de signo al distribuir el menos es donde se cae la mitad del curso.
El control independiente, que acá es fácil
Un resultado de derivación se verifica mejor por un camino distinto que releyendo la cuenta. Para g conviene reescribirla antes de derivar:
Derivando esa forma no hace falta la regla del cociente: la derivada de una constante es 0, y la de −5·(x + 2)−1 es +5·(x + 2)−2. Sale 5/(x + 2)², igual que antes. Dos caminos independientes que coinciden es mucho mejor evidencia que revisar el mismo dos veces.
El control numérico, para cuando no hay segundo camino
La derivada es el límite del cociente incremental, así que se la puede estimar con un h chico y comparar. En x = 1, la fórmula da 5/(1 + 2)² = 5/9 = 0,5556, y el cociente incremental con h = 0,000001 da 0,5556. Coinciden. Para f en x = 2 la fórmula da 3·4·ln 2 + 4 = 12,3178 y el cociente incremental da 12,3178.
Derivar h(x) = (x²·sen x)/eˣ y calcular h ′(0). Derivar también g(x) = (1 + ln x)/x² y hallar en qué punto se anula g ′.
La primera tiene las dos reglas encimadas: un cociente, y arriba un producto. Antes de empezar conviene elegir cómo escribirla, porque eso decide cuánto álgebra hay después.
El truco que ahorra la regla del cociente: dividir por eˣ es multiplicar por e⁻ˣ.
Ahora es un producto de tres factores, y se deriva dejando quieto todo salvo uno por vez:
h ′ = 2x·sen x·e^(−x) + x²·cos x·e^(−x) − x²·sen x·e^(−x)
El signo menos del tercer término sale de la cadena: la derivada de e^(−x) es e^(−x)·(−1). Es el error más común de todo el ejercicio.
Evaluar en 0 es ahora directo, y no hay que simplificar nada más:
Qué significa. Como h(0) = 0 y h ′(0) = 0, la recta tangente en el origen es y = 0, o sea el propio eje x. Cerca de cero la función es muy chata, porque x²·sen x se comporta como x³.
La segunda: ahora sí, regla del cociente. Con u = 1 + ln x y v = x²:
g ′ = [(1/x)·x² − (1 + ln x)·2x] / x⁴
Se simplifica antes de seguir, sacando x de factor común arriba:
Dónde se anula. Una fracción es cero cuando lo es su numerador (y el denominador no):
Control del dominio: g solo existe para x > 0 (por el logaritmo), y 0,6065 > 0 ✓. Si la ecuación hubiera dado un x negativo, había que descartarlo.
Lo que significa ese punto: ahí g tiene su máximo. A la izquierda g ′ es positiva (ln x muy negativo hace positivo al numerador) y a la derecha negativa. Ese análisis es el de la unidad 5, pero el punto crítico ya está calculado.
Dónde se pierde el punto: en la primera, olvidar el menos de e^(−x); en la segunda, no simplificar la x y quedar con una expresión sobre x⁴ que después es imposible de igualar a cero con claridad.
Dónde se cae la mayoría
- Usar (u·v)′ = u′·v′. Es el error más común de toda la unidad.
- Invertir el orden en la regla del cociente y quedarse con el signo cambiado.
- Derivar √x como 1/(2x) en vez de 1/(2√x).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Reglas de derivación →Los otros temas de la unidad 4
Derivadas y recta tangente