Análisis Matemático I (66) · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Regla de la cadena
Cuando una función está metida adentro de otra, derivás la de afuera dejando la de adentro quieta, y después multiplicás por la derivada de la de adentro. Ese "y después multiplicás" es lo que todo el mundo olvida.
La explicación
La regla
En palabras: se deriva la de afuera dejando lo de adentro quieto, y después se multiplica por la derivada de lo de adentro. Ese último factor es el que se olvida, y es lo que distingue derivar bien de derivar mal.
Para saber cuál es la de afuera, preguntate: si tuviera que calcular f(2), ¿qué cuenta haría última? En sen(x²) primero elevás al cuadrado y después tomás seno, así que el seno es la de afuera.
En notación de Leibniz
Escrita así parece que las du se simplifican como fracciones, y esa imagen ayuda a recordarla aunque no sea una demostración. También deja claro de qué se trata: si y cambia 3 veces más rápido que u, y u cambia 2 veces más rápido que x, entonces y cambia 6 veces más rápido que x. Las velocidades de cambio se multiplican.
Las formas que más aparecen
(eu)′ = eu·u′
(ln u)′ = u′/u
(sen u)′ = cos(u)·u′
(√u)′ = u′/(2√u)
La de ln es la más usada de todas, y conviene leerla como "la derivada de adentro sobre lo de adentro". Aparece en cada estudio de función con logaritmos.
Cuando hay más de dos capas
Se aplica la regla tantas veces como capas haya, de afuera hacia adentro, multiplicando todo:
El truco para no perderse: identificá las capas antes de escribir nada, numerándolas de afuera hacia adentro. Después es mecánico, y cada capa aporta exactamente un factor.
Derivada logarítmica
Cuando hay un producto largo, un cociente feo, o —sobre todo— una variable en el exponente y en la base a la vez, conviene tomar logaritmo antes de derivar:
1. ln(y) = x·ln(x)
2. Derivo los dos lados: y′/y = ln(x) + 1
3. Despejo: y′ = xx(ln(x) + 1)
El paso 2 usa la regla de la cadena del lado izquierdo, porque y es función de x. Esa es la técnica, y es la única forma de atacar f(x)^g(x).
Los dos errores del tema
- Olvidar el u′. Derivar sen(3x) como cos(3x) en vez de 3·cos(3x). Control: si lo de adentro es más complicado que x, tiene que aparecer un factor extra.
- Evaluar mal la de afuera. Derivar (x²+1)⁵ como 5(x)⁴·2x en vez de 5(x²+1)⁴·2x. Lo de adentro no se toca al derivar lo de afuera.
Derivar f(x) = (2x³ + 4)⁴⁰ y g(x) = ln(3x² + 2x).
La primera es una potencia de una función. Capas: potencia 40, de un polinomio.
= 40·(2x³ + 4)³⁹ · 6x²
= 240x²·(2x³ + 4)³⁹
Nadie desarrolla el paréntesis: con la regla de la cadena, una potencia 40 se deriva en un renglón.
La segunda es un logaritmo de un polinomio. Uso (ln u)′ = u′/u:
Un control útil: la derivada de un logaritmo siempre queda como una fracción con el argumento original abajo.
El control numérico, que acá conviene
Con exponentes grandes es fácil equivocarse en un paso y no notarlo, así que vale evaluar en un punto cómodo. En x = 1: f ′(1) = 240·1·(2 + 4)³⁹ = 240·6³⁹, y el cociente incremental con h = 0,000001 da el mismo número, del orden de 5,347·10³². Para g en x = 1 la fórmula da 8/5 = 1,6 y el cociente incremental da 1,6 también.
De afuera hacia adentro, sin saltearse capas
La cadena se aplica en orden, empezando por la operación más externa y sin tocar lo de adentro hasta que le toca. En f la capa externa es «elevar a la 40» y la interna es el polinomio; por eso el paréntesis queda intacto y con exponente 39, y recién después se multiplica por su derivada. Escribir 40·(6x²)³⁹ es derivar las dos capas a la vez, y es el error más común del tema.
Derivar f(x) = e^(sen(x²)) y g(x) = ln(√(x² + 1)). En el segundo caso, simplificar la expresión antes de derivar y comparar el trabajo.
La primera tiene tres capas, y la regla de la cadena se aplica de afuera hacia adentro, una por vez. Conviene nombrarlas antes de escribir nada:
la del medio: sen(algo)
la de adentro: x²
Se deriva la de afuera, dejando lo de adentro quieto, y se multiplica por la derivada de lo de adentro:
Y ahora la del medio, con el mismo criterio:
Se junta todo:
Control rápido en x = 0: f ′(0) = 0·1·e⁰ = 0. El factor 2x garantiza que la tangente en el origen sea horizontal, y eso se ve en el gráfico, que es simétrico respecto del eje y (f es par).
La segunda, sin pensar, saldría así:
= 2x / [2·(x² + 1)] = x/(x² + 1)
Sale, pero con dos raíces dando vueltas. Ahora el camino corto: usar la propiedad del logaritmo antes de derivar.
Y esa derivada es de una sola línea:
Los dos caminos dan lo mismo —que es el control— pero el segundo no tiene ninguna raíz en el medio, así que tiene la mitad de oportunidades de equivocarse.
La moraleja, que es lo que el ejercicio quiere dejar: antes de derivar, mirar si la expresión se puede simplificar. Las tres propiedades del logaritmo —producto, cociente y potencia— convierten productos en sumas y exponentes en factores, y derivar una suma es mucho más fácil que derivar un producto.
Un caso donde se nota más todavía: derivar ln(x³·(x+1)⁵) a mano es un producto adentro de un logaritmo; escrito como 3·ln x + 5·ln(x+1) es una suma de dos términos inmediatos.
Dónde se pierde el punto: derivar la capa de afuera y olvidar multiplicar por la derivada de adentro. El síntoma es que el resultado no tiene ninguna x suelta multiplicando: si derivaste algo con x² adentro y no aparece un 2x, faltó un eslabón de la cadena.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el factor de corrección: derivar e^(3x) como e^(3x) en vez de 3e^(3x).
- Derivar la de adentro también en el primer factor: en (sen(x²))′ el primer factor es cos(x²), no cos(2x).
- Aplicar la regla de la potencia a x^x. Ahí hace falta derivación logarítmica.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Regla de la cadena →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Tangente de una composición25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Derivadas y recta tangente