Análisis Matemático I · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Recta tangente y recta normal
Con la derivada tenés la pendiente y con el punto tenés el resto: la ecuación de la tangente sale de una fórmula sola, y es de los ejercicios más seguros del parcial.
La explicación
La fórmula
Son dos datos y nada más: el punto (x₀, f(x₀)) y la pendiente f′(x₀). Todo ejercicio de tangente se reduce a conseguir esos dos números.
2. Derivar f.
3. Evaluar f′(x₀) → la pendiente.
4. Armar la recta y controlar que en x = x₀ dé f(x₀).
El paso 4 no es opcional: detecta casi cualquier error de los tres anteriores en cinco segundos.
Ojo con un detalle de enunciado: cuando dice "en x₀ = 2" hay que calcular f(2); cuando dice "en el punto (2, 5)" ya te lo están dando, pero conviene verificar que f(2) sea realmente 5 — a veces el punto no está en la curva y ahí el ejercicio es otro.
La recta normal
Es la perpendicular a la tangente en el mismo punto:
Dos casos borde que se toman: si f′(x₀) = 0 la tangente es horizontal y la normal es la vertical x = x₀ (que no tiene pendiente); y si la tangente es vertical, la normal es horizontal.
Los ejercicios "al revés"
En vez de dar el punto y pedir la recta, dan una condición sobre la recta y piden el punto. Todos salen igual: traducir la condición a una ecuación en f′.
- Tangente horizontal → f′(x) = 0.
- Tangente paralela a y = mx + b → f′(x) = m.
- Tangente perpendicular a y = mx + b → f′(x) = −1/m.
- Tangente que forma 45° con el eje x → f′(x) = 1 (porque tan(45°) = 1).
Resolvés esa ecuación, obtenés los x, y recién después calculás los puntos y las rectas. Un aviso: la respuesta pide puntos, así que hay que dar las dos coordenadas, no sólo las x.
Tangentes desde un punto que no está en la curva
Éste es el que más cuesta, y la clave es entender por qué es distinto: no se puede calcular la tangente "en" ese punto, porque el punto no pertenece al gráfico. El punto de tangencia es otro y hay que encontrarlo.
2. Escribir la tangente genérica en a: y = f(a) + f′(a)(x − a).
3. Imponer que pase por el punto dado (x₁, y₁): y₁ = f(a) + f′(a)(x₁ − a).
4. Resolver esa ecuación en a. Cada solución da una tangente.
El número de soluciones tiene sentido geométrico: desde un punto exterior a una parábola salen dos tangentes, desde un punto de la curva una, y desde un punto interior ninguna — y en ese último caso la ecuación en a no tiene raíces reales.
Para qué sirve la tangente
Además de ser un ejercicio, la tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca del punto. Ésa es la idea que se desarrolla en la unidad 6, y es la razón por la que este tema no es un trámite: casi todo el cálculo numérico se apoya en reemplazar una función complicada por su tangente en un entorno chico.
Hallar la recta tangente y la recta normal al gráfico de f(x) = x·e^(x−1) en x₀ = 1.
Paso 1: el punto.
Paso 2: la derivada. Es un producto, y el segundo factor pide regla de la cadena.
Paso 3: la pendiente, evaluando en 1.
Paso 4: armar la recta.
Control: en x = 1 la recta da 2 − 1 = 1 = f(1) ✔ Es el control obligatorio: la tangente tiene que pasar por el punto.
La normal es perpendicular, así que su pendiente es la inversa cambiada de signo:
Control de la perpendicularidad: 2·(−1/2) = −1 ✔
Un control extra de sentido: f crece en x = 1 (la pendiente es positiva) y el valor 2 es razonable, porque cerca de x = 1 la exponencial vale casi 1 y la función se parece a x, que crece con pendiente 1, más el aporte de la exponencial.
Dónde se cae la mayoría
- Usar el valor de la derivada como si fuera el valor de la función (poner f ′(x₀) donde va f(x₀)).
- Olvidar evaluar la derivada: dejar la tangente en función de x, con f ′(x) adentro.
- Calcular la normal como −f ′(x₀) en vez de −1/f ′(x₀).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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