Análisis Matemático I · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Derivabilidad y continuidad
Derivable implica continua, pero no al revés. |x| es el contraejemplo que hay que tener siempre a mano: es continua en 0 y no es derivable ahí.
La explicación
Qué significa ser derivable en un punto
Que exista el límite del cociente incremental. Como todo límite, tiene sus dos laterales, y tienen que existir los dos y coincidir:
Geométricamente: que el gráfico tenga una tangente bien definida y no vertical en ese punto. Si hay un pico, hay dos candidatas a tangente y ninguna gana.
El teorema y su recíproco falso
La flecha va en un solo sentido. La razón es corta: para que el cociente (f(a+h) − f(a))/h tenga límite finito con h → 0, el numerador tiene que tender a 0, y eso es exactamente la continuidad.
El recíproco es falso, y el contraejemplo de referencia es |x| en el origen: continua sí, derivable no.
Los tres modos de fallar
- Discontinuidad: si pega un salto o tiene un agujero, se cae por el teorema anterior.
- Pico: es continua pero las derivadas laterales dan distinto. El caso de |x|.
- Tangente vertical: las laterales coinciden pero dan infinito, así que el límite no es finito. El caso de ∛x en el origen.
El segundo es el interesante y el que más se toma, porque es el único donde hay que hacer las dos cuentas para darse cuenta.
El ejercicio de parcial
Casi siempre es una función definida por partes y piden decidir si es derivable, o hallar parámetros para que lo sea. El método:
2. Derivabilidad después. Derivar cada rama por separado y evaluar las dos en el punto de empalme. Esto da otra ecuación.
3. Resolver el sistema.
Con dos parámetros y un punto de empalme quedan dos ecuaciones y sale. Y hay un atajo: resolvé primero la de derivabilidad cuando uno de los parámetros aparece solo ahí, porque lo despeja de una y la otra ecuación queda con una sola incógnita.
Por qué siempre queda la tangente
Cuando el ejercicio pide pegar una recta a una curva de forma derivable, la respuesta es siempre la tangente en ese punto, y no puede ser otra: la recta tiene que pasar por el punto (continuidad) y tener la pendiente de la curva ahí (derivabilidad), que son exactamente las dos condiciones que definen la tangente.
Eso sirve para anticipar el resultado antes de plantear nada, y para controlarlo después.
Un caso que aparece como optativo
Las funciones del tipo xk·sen(1/x) en el origen (valiendo 0 ahí) son el laboratorio del tema: según el k, salen continuas pero no derivables, o derivables con derivada discontinua. No hace falta dominarlas, pero conviene saber que existen, porque muestran que "derivable" no implica "derivada continua".
Hallar a y b para que f(x) = cos(x) si x < π/2, y f(x) = ax + b si x ≥ π/2, sea derivable en x = π/2.
Condición 1: continuidad en π/2. Los laterales tienen que coincidir.
lím(x→π/2⁺) (ax + b) = a·π/2 + b
Condición 2: derivabilidad. Derivo cada rama y las igualo en π/2.
Rama derecha: (ax + b)′ = a
Reemplazo en la primera ecuación: −π/2 + b = 0, o sea b = π/2.
Control: con esos valores la rama derecha en π/2 vale −π/2 + π/2 = 0, igual que el coseno ✔ y las dos derivadas valen −1 ✔
Con esos valores, la recta y = −x + π/2 es exactamente la tangente al coseno en x = π/2: la función "sale" del coseno por su propia tangente y por eso no se nota el empalme. Eso vale siempre en este tipo de ejercicio — pegarle una recta de forma derivable a una curva sólo se puede con su tangente — y sirve para anticipar el resultado antes de plantear nada.
El orden importa: conviene resolver primero la condición de derivabilidad, porque da a sola; después la de continuidad da b de una. Al revés queda un sistema.
Dónde se cae la mayoría
- Igualar solo las derivadas y olvidar la condición de continuidad.
- Concluir que una función es derivable porque "el gráfico se ve suave", sin chequear las laterales.
- Creer que continua ⟹ derivable.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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