Análisis Matemático I (66) · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Derivabilidad y continuidad
Derivable implica continua, pero no al revés. |x| es el contraejemplo que hay que tener siempre a mano: es continua en 0 y no es derivable ahí.
La explicación
Qué significa ser derivable en un punto
Que exista el límite del cociente incremental. Como todo límite, tiene sus dos laterales, y tienen que existir los dos y coincidir:
Geométricamente: que el gráfico tenga una tangente bien definida y no vertical en ese punto. Si hay un pico, hay dos candidatas a tangente y ninguna gana.
El teorema y su recíproco falso
La flecha va en un solo sentido. La razón es corta: para que el cociente (f(a+h) − f(a))/h tenga límite finito con h → 0, el numerador tiene que tender a 0, y eso es exactamente la continuidad.
El recíproco es falso, y el contraejemplo de referencia es |x| en el origen: continua sí, derivable no.
Los tres modos de fallar
- Discontinuidad: si pega un salto o tiene un agujero, se cae por el teorema anterior.
- Pico: es continua pero las derivadas laterales dan distinto. El caso de |x|.
- Tangente vertical: las laterales coinciden pero dan infinito, así que el límite no es finito. El caso de ∛x en el origen.
El segundo es el interesante y el que más se toma, porque es el único donde hay que hacer las dos cuentas para darse cuenta.
El ejercicio de parcial
Casi siempre es una función definida por partes y piden decidir si es derivable, o hallar parámetros para que lo sea. El método:
2. Derivabilidad después. Derivar cada rama por separado y evaluar las dos en el punto de empalme. Esto da otra ecuación.
3. Resolver el sistema.
Con dos parámetros y un punto de empalme quedan dos ecuaciones y sale. Y hay un atajo: resolvé primero la de derivabilidad cuando uno de los parámetros aparece solo ahí, porque lo despeja de una y la otra ecuación queda con una sola incógnita.
Por qué siempre queda la tangente
Cuando el ejercicio pide pegar una recta a una curva de forma derivable, la respuesta es siempre la tangente en ese punto, y no puede ser otra: la recta tiene que pasar por el punto (continuidad) y tener la pendiente de la curva ahí (derivabilidad), que son exactamente las dos condiciones que definen la tangente.
Eso sirve para anticipar el resultado antes de plantear nada, y para controlarlo después.
Un caso que aparece como optativo
Las funciones del tipo xk·sen(1/x) en el origen (valiendo 0 ahí) son el laboratorio del tema: según el k, salen continuas pero no derivables, o derivables con derivada discontinua. No hace falta dominarlas, pero conviene saber que existen, porque muestran que "derivable" no implica "derivada continua".
Hallar a y b para que f(x) = cos(x) si x < π/2, y f(x) = ax + b si x ≥ π/2, sea derivable en x = π/2.
Condición 1: continuidad en π/2. Los laterales tienen que coincidir.
lím(x→π/2⁺) (ax + b) = a·π/2 + b
Condición 2: derivabilidad. Derivo cada rama y las igualo en π/2.
Rama derecha: (ax + b)′ = a
Reemplazo en la primera ecuación: −π/2 + b = 0, o sea b = π/2.
Control: con esos valores la rama derecha en π/2 vale −π/2 + π/2 = 0, igual que el coseno ✔ y las dos derivadas valen −1 ✔
Con esos valores, la recta y = −x + π/2 es exactamente la tangente al coseno en x = π/2: la función "sale" del coseno por su propia tangente y por eso no se nota el empalme. Eso vale siempre en este tipo de ejercicio — pegarle una recta de forma derivable a una curva sólo se puede con su tangente — y sirve para anticipar el resultado antes de plantear nada.
El orden importa: conviene resolver primero la condición de derivabilidad, porque da a sola; después la de continuidad da b de una. Al revés queda un sistema.
Hallar a y b para que f sea derivable en x = 2, siendo f(x) = a·x² + b si x ≤ 2 y f(x) = ln(x − 1) + 4 si x > 2.
Derivable es más fuerte que continua, así que son dos condiciones, no una. Y el orden importa: primero la continuidad, porque una función que da un salto no puede ser derivable ni aunque las pendientes coincidan.
Condición 1: continuidad en x = 2. El valor por izquierda (que es también f(2)) tiene que igualar al límite por derecha:
por derecha: límx→2⁺ [ln(x − 1) + 4] = ln(1) + 4 = 0 + 4 = 4
Ese ln(1) = 0 es el dato que hace que el ejercicio salga redondo: el 2 está elegido para que el logaritmo se anule.
Condición 2: que las derivadas laterales coincidan. Se deriva cada trozo por separado y se evalúa en 2:
(ln(x − 1) + 4)′ = 1/(x − 1) → en x = 2 vale 1/1 = 1
Se reemplaza en (I):
1 + b = 4 → b = 3
El control, rehaciendo las dos condiciones con los números:
derivadas: 2·(1/4)·2 = 1 ✓ (y por derecha también 1)
Cómo queda la función: f(x) = x²/4 + 3 a la izquierda, ln(x − 1) + 4 a la derecha. Las dos pasan por (2 ; 4) y las dos llegan ahí con pendiente 1, así que el empalme no se nota.
Por qué el orden de las condiciones importa. Si hubieras planteado solo la de las derivadas, salía a = 1/4 pero b quedaba libre: cualquier b daría un gráfico con las dos ramas paralelas pero separadas, y ahí ni siquiera hay continuidad. La condición (I) es la que pega las dos ramas.
Dónde se pierde el punto: derivar y evaluar en 2 sin verificar la continuidad, o —peor— derivar la función partida como si fuera una sola fórmula. Cada trozo se deriva por su cuenta, y recién después se comparan en el punto de empalme.
Dónde se cae la mayoría
- Igualar solo las derivadas y olvidar la condición de continuidad.
- Concluir que una función es derivable porque "el gráfico se ve suave", sin chequear las laterales.
- Creer que continua ⟹ derivable.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Derivadas y recta tangente