Análisis Matemático I (66) · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Tasas de cambio relacionadas
Si dos cantidades están relacionadas por una ecuación, sus velocidades de cambio también lo están: se consigue derivando la ecuación respecto del tiempo.
La explicación
La idea
Dos magnitudes que cambian con el tiempo y están ligadas por una relación geométrica o física. Conocés la velocidad de cambio de una y querés la de la otra. La herramienta es derivar la relación respecto del tiempo, tratando a cada variable como función de t.
Acá la regla de la cadena deja de ser una técnica y pasa a ser el método entero: al derivar x² respecto del tiempo queda 2x·x′, y ese x′ es justamente la velocidad que aparece en el problema.
El método, siempre igual
2. Anotar los datos como derivadas: "se aleja a 2 m/s" es x′ = 2.
3. Escribir la relación entre las variables (Pitágoras, semejanza, una fórmula de área o volumen).
4. Derivar respecto de t los dos lados.
5. Recién ahora reemplazar los valores del instante que interesa y despejar.
El paso 5 es donde se cae la mayoría: si reemplazás los números antes de derivar, las variables se vuelven constantes y sus derivadas dan cero. Los valores del instante sólo entran después de haber derivado. Es el error más caro del tema y el más fácil de cometer.
Cómo elegir la relación
Casi siempre es una de estas tres:
- Pitágoras, cuando hay un triángulo rectángulo: escaleras contra paredes, barcos y faros, dos autos en rutas perpendiculares.
- Semejanza de triángulos, cuando hay sombras o conos: la sombra de una persona bajo un farol, el nivel de agua en un tanque cónico.
- Una fórmula de área o volumen, cuando algo se infla o se vacía.
Un consejo que ahorra trabajo: si la relación tiene más variables de las necesarias, usá la geometría para eliminar las que sobran antes de derivar. En un cono cuyo radio y altura guardan proporción fija, conviene escribir el volumen en función de una sola de las dos.
Signos
Una derivada positiva significa que la magnitud crece; negativa, que decrece. En estos problemas el signo es parte de la respuesta y hay que interpretarlo, no sólo reportarlo:
- "el extremo baja a 0,75 m/s" se escribe y′ = −0,75.
- "el tanque se vacía a 3 litros por minuto" se escribe V′ = −3.
Si el enunciado ya dice "disminuye", el dato entra negativo y la cuenta se encarga del resto.
El control que nunca falla
Reemplazá tu resultado en la ecuación derivada: los dos lados tienen que dar lo mismo. En el caso de la escalera, 2x·x′ + 2y·y′ tiene que dar 0, y si no da, el error está a la vista.
Y un segundo control, de sentido común: las unidades. Si te piden una velocidad y tu número sale en metros, algo se mezcló. Si te piden un caudal y sale en cm/s en vez de cm³/s, te olvidaste de una dimensión.
Lo que estos problemas enseñan de verdad
Que una relación entre cantidades impone automáticamente una relación entre sus velocidades de cambio. Cuando la escalera resbala, cerca del piso el extremo superior cae cada vez más rápido, y eso no es una intuición: sale de que y′ = −x·x′/y se dispara cuando y tiende a 0.
Un globo esférico se infla y su radio crece a 2 cm/s. ¿A qué velocidad crece el volumen cuando el radio mide 5 cm?
1. Variables. V = volumen, r = radio, ambas funciones del tiempo. Dato: dr/dt = 2 cm/s. Buscamos dV/dt cuando r = 5.
2. Ecuación. Volumen de una esfera:
3. Derivo respecto de t (cadena en r³):
4. Ahora sí, los números:
Fijate que la respuesta depende de r: el mismo globo, inflándose al mismo ritmo de radio, gana volumen cada vez más rápido a medida que se agranda.
El error que arruina estos ejercicios
Es reemplazar r = 5 antes de derivar. Si escribís V = (4/3)π·5³ = 523,6 y después derivás, te da cero, porque derivaste una constante. El radio es constante en ese instante, no como función del tiempo. La regla es tajante: primero se deriva la relación general, y recién al final se meten los números del instante pedido. Por eso el paso 3 y el paso 4 están separados.
Control de unidades y de magnitud
Las unidades tienen que cerrar solas: cm² · cm/s = cm³/s, que es lo que debe ser una velocidad de volumen. Y el orden de magnitud también: la superficie de la esfera de radio 5 es 4π·25 ≈ 314 cm², y el radio avanza 2 cm/s, así que en un segundo se agrega aproximadamente una cáscara de 314 · 2 ≈ 628 cm³. Coincide con la respuesta, y no es coincidencia — dV/dt = área de la superficie × dr/dt, que es la lectura geométrica de la fórmula.
Una escalera de 5 m está apoyada contra una pared vertical. El pie de la escalera se aleja de la pared a 0,5 m/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior en el instante en que el pie está a 3 m de la pared?
El primer paso es nombrar lo que cambia con el tiempo. Llamemos x(t) a la distancia del pie a la pared e y(t) a la altura del extremo superior. Las dos dependen de t; la escalera, en cambio, mide siempre 5 m.
La relación entre las variables. La escalera, la pared y el piso forman un triángulo rectángulo:
Esta es la ecuación que hay que derivar, no la que hay que resolver. Es lo que separa este ejercicio de uno de Pitágoras común.
Se deriva respecto del tiempo, con la regla de la cadena en cada término:
x·x ′ + y·y ′ = 0
Aparecen x ′ e y ′ porque x e y son funciones de t: derivar x² respecto de t da 2x·x ′, no 2x. El 25 es constante, así que su derivada es 0.
Recién ahora se ponen los números del instante pedido. Antes no: si reemplazás x = 3 en la ecuación original, x deja de ser variable y la derivada te da cero.
x ′ = 0,5 m/s (positivo: se aleja)
Se despeja y ′:
4·y ′ = −1,5 → y ′ = −0,375 m/s
El signo menos es información: dice que y está disminuyendo, o sea que el extremo superior baja. La respuesta en palabras es «baja a 0,375 m/s», y el menos no se escribe ahí porque ya está dicho en «baja».
Control por otro camino. Se puede despejar y = √(25 − x²) con x(t) = 3 + 0,5t y derivar directo respecto de t; en t = 0 da −0,375 ✓.
Lo que el ejercicio quiere que veas. El pie se aleja a velocidad constante, pero el extremo no baja a velocidad constante: la fórmula y ′ = −x·x ′/y depende de dónde esté. Cuando la escalera está casi vertical (y grande, x chico), y ′ es chiquito; cuando está por caerse (y → 0), y ′ se dispara. Por eso las escaleras se vienen abajo de golpe al final.
Dónde se pierde el punto: reemplazar x = 3 antes de derivar. La ecuación se deriva con las letras, y los números entran en el último paso.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar los valores numéricos antes de derivar.
- Olvidar el factor dr/dt (o dx/dt) al derivar: es la regla de la cadena, no se puede saltear.
- Poner positiva una tasa que en el enunciado es de disminución.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Tasas de cambio relacionadas →Los otros temas de la unidad 4
Derivadas y recta tangente