Análisis Matemático I (66) · Unidad 4 — Derivadas y recta tangente
Derivada de la función inversa
Si conocés la pendiente de f en un punto, la de su inversa en el punto espejo es la inversa de ese número. Una sola fórmula, y de ella salen las derivadas de arcsen, arccos y arctg sin memorizar nada.
La explicación
La idea, antes que la fórmula
Los gráficos de f y de f⁻¹ son simétricos respecto de la recta y = x. Reflejar en esa recta intercambia el eje horizontal con el vertical, así que una pendiente de 3 se convierte en una de 1/3. Eso es todo el teorema; lo que sigue es escribirlo bien.
La fórmula
Sale de derivar la identidad f⁻¹(f(x)) = x con la regla de la cadena:
y despejando. Fijate que es una aplicación directa de la regla de la cadena, no una regla nueva que haya que aprender aparte.
Las dos cosas que hay que cuidar
2. Hace falta f′(x₀) ≠ 0. Si la derivada se anula, la tangente de f es horizontal, y al reflejarla queda vertical: la inversa no es derivable ahí.
El caso típico del segundo punto es f(x) = x³ en x = 0. Es biyectiva y su inversa es ∛x, pero f′(0) = 0 y efectivamente ∛x tiene tangente vertical en el origen.
Cómo se usa en la práctica
La gracia es que no hace falta conocer la fórmula de la inversa. Para f(x) = x³ + x no hay manera simpática de despejar x, y sin embargo la derivada de la inversa en cualquier punto se calcula igual. El método:
2. Encontrar el x₀ tal que f(x₀) = y₀. Casi siempre sale a ojo o probando valores enteros.
3. Calcular f′(x₀).
4. Dar vuelta: la respuesta es 1/f′(x₀).
El paso 2 es el que hay que mirar con cuidado: el enunciado te da y₀ y vos necesitás x₀, no al revés.
De acá salen las inversas trigonométricas
Ésta es la razón por la que el tema importa: las derivadas de arcsen, arccos y arctg no se memorizan, se deducen, y aparecen todo el tiempo en integración.
Para y = arctg(x), o sea x = tg(y):
Falta expresarlo en x. Usando 1 + tg²(y) = sec²(y) y que tg(y) = x:
Con el mismo procedimiento para y = arcsen(x), o sea x = sen(y):
La raíz va con signo positivo porque el arcoseno toma valores en (−π/2, π/2) —ése es el pedazo de seno que se eligió para poder invertirlo—, y ahí el coseno es positivo. Ojo con no confundir las dos cosas: el dominio del arcoseno es [−1, 1], que es donde vive la x; (−π/2, π/2) es su imagen, que es donde vive la y. Y no es un detalle cosmético: es esa restricción la que decide el signo.
(arccos)′(x) = −1/√(1 − x²) en (−1, 1)
(arctg)′(x) = 1/(1 + x²) en todo ℝ
El arcocoseno es el opuesto del arcoseno porque arcsen(x) + arccos(x) = π/2 para todo x, y la derivada de una constante es 0.
Un control que no falla
Las tres derivadas tienen que ser positivas donde la función crece. El arcoseno y el arcotangente crecen, y sus derivadas dan positivo; el arcocoseno decrece, y da negativo. Si te sale un signo al revés, ahí está el error.
Y un segundo control: (arctg)′(0) = 1, que coincide con que cerca del cero arctg(x) se parece a x — el mismo hecho que ya conocés del límite notable.
Sea f(x) = x³ + x. Probar que es inversible, y hallar (f⁻¹)′(2) sin calcular la inversa.
Paso 1: que sea inversible. Derivo:
Es estrictamente positiva para todo x (3x² ≥ 0 y le sumo 1), así que f es estrictamente creciente en todo ℝ, y por lo tanto inyectiva. Como además es un polinomio de grado impar, su imagen es todo ℝ. Es biyectiva de ℝ en ℝ, así que la inversa existe.
Paso 2: hallar el x₀ que corresponde a y₀ = 2. Necesito f(x₀) = 2, o sea
A ojo, x₀ = 1 funciona: 1 + 1 = 2 ✔ Y es el único, porque f es estrictamente creciente.
Paso 3: la derivada de f ahí.
Paso 4: dar vuelta.
Lo que hay que notar. Despejar x de x³ + x = y no tiene solución simpática, así que no podríamos haber calculado la inversa aunque quisiéramos. Y sin embargo su derivada en un punto salió en cuatro líneas. Ésa es exactamente la utilidad del teorema.
Control numérico. Aproximando la inversa con el método de bisección y calculando su derivada por diferencias en y = 2, sale 0,25 ✔
Control de sentido. f crece muy rápido cerca de x = 1 (pendiente 4), así que su inversa tiene que crecer despacio ahí (pendiente 1/4). Reflejar en y = x convierte una subida empinada en una suave, y el número lo confirma.
Un aviso sobre el punto. Si por distracción hubieras calculado f′(2) = 13 y contestado 1/13, el error no lo detecta ninguna cuenta posterior: la fórmula se aplicó bien, pero en el punto equivocado. Por eso el paso 2 conviene escribirlo siempre, aunque salga a ojo.
Sea f(x) = x + eˣ. Probar que f es inversible en ℝ y calcular (f⁻¹)′(1) sin hallar la fórmula de la inversa.
«Inversible» quiere decir inyectiva, y la forma de probarlo con derivadas es mostrar que la función es estrictamente monótona: si siempre crece, no puede repetir un valor.
Una exponencial es siempre positiva, así que eˣ > 0 y entonces:
f es estrictamente creciente en todo ℝ, por lo tanto inyectiva, por lo tanto inversible sobre su imagen. Eso es toda la demostración, y hay que escribirla con esas palabras: el punto está en justificar, no en calcular.
La fórmula de la derivada de la inversa:
Traducida: para derivar la inversa en un punto y, hay que saber de qué x viene ese y. Acá y = 1, así que se busca el x con f(x) = 1.
Esa ecuación no se resuelve con álgebra, pero no hace falta: se prueba con los valores redondos, que es lo que el ejercicio espera.
Y ese x = 0 es el único, porque ya probamos que f es estrictamente creciente. No hay que seguir buscando.
Ahora sí, se aplica la fórmula:
Por qué no hace falta la inversa. Despejar x de x + eˣ = y es imposible con funciones elementales: la inversa existe, pero no tiene fórmula. Y aun así su derivada en un punto se calcula exacta. Ese es el valor del teorema, y es la razón por la que el enunciado aclara «sin hallar la fórmula de la inversa».
Qué dice el número. f crece con pendiente 2 en x = 0, así que su inversa —que es el gráfico reflejado en la recta y = x— crece ahí con pendiente 1/2. Las pendientes de una función y su inversa son recíprocas en los puntos que se corresponden.
Dónde se pierde el punto: calcular 1/f ′(1) en vez de 1/f ′(0). El 1 es el punto donde se deriva la inversa; la derivada de f se evalúa en la preimagen de ese 1, que hay que buscar.
Dónde se cae la mayoría
- Evaluar las dos derivadas en el mismo punto. La de la inversa va en y₀ y la de f en x₀, y son puntos distintos salvo casualidad.
- Buscar x₀ resolviendo f(y₀) en vez de f(x₀) = y₀. El enunciado da la imagen; vos necesitás la preimagen.
- Aplicar la fórmula donde f′(x₀) = 0. Ahí la inversa no es derivable: la tangente queda vertical.
- Olvidar que la raíz de la derivada del arcoseno va positiva, y arrastrar un signo que no corresponde.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Derivadas y recta tangente