Análisis Matemático I (66) · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Teorema de Rolle
Si una función suave sale y vuelve a la misma altura, en algún momento tuvo que aplanarse. Ese punto donde la tangente queda horizontal es lo que garantiza Rolle.
La explicación
Qué dice Rolle
Sin símbolos: si una curva suave sale de una altura y vuelve a la misma altura, en algún momento tuvo que dejar de subir para empezar a bajar (o al revés), y ahí la tangente es horizontal.
Las hipótesis, una por una
- Continua en el cerrado: los extremos entran, porque ahí se evalúa f.
- Derivable en el abierto: los extremos no entran. Es una asimetría deliberada y a veces decisiva: una función puede tener tangente vertical justo en un borde y el teorema igual se aplica.
- f(a) = f(b): no hace falta que valgan 0, sólo que sean iguales.
Si falla alguna, el teorema no dice nada. El contraejemplo clásico es f(x) = |x| en [−1, 1]: cumple f(−1) = f(1) y es continua, pero no es derivable en 0, y efectivamente su derivada no se anula nunca.
Rolle da existencia, no un método para encontrar el c
El teorema garantiza que hay un c, no dice cuál. En los ejercicios donde piden hallarlo, se halla resolviendo f′(x) = 0 y quedándose con las raíces que caen adentro del intervalo abierto. Las que caen justo en un extremo no sirven.
El uso que de verdad se toma: acotar raíces
Rolle se usa casi siempre al revés, por el contrarrecíproco: si f′ no se anula en (a, b), entonces f no puede valer lo mismo en dos puntos del intervalo, y por lo tanto tiene a lo sumo una raíz ahí.
1. Supongo que hay dos raíces, x₁ y x₂, en el intervalo.
2. Entonces f(x₁) = f(x₂) = 0, y por Rolle existe c entre ellas con f′(c) = 0.
3. Pero f′ no se anula en ese intervalo: absurdo.
4. Por lo tanto no puede haber dos raíces.
Combinado con Bolzano, que da "al menos una", queda exactamente una. Es la pareja de teoremas más usada del curso: uno aporta existencia y el otro unicidad.
Generalización útil
El mismo argumento con más raíces: si f′ se anula a lo sumo k veces en un intervalo, entonces f tiene a lo sumo k + 1 raíces ahí. Así se acota la cantidad de soluciones de una ecuación sin resolverla, que es exactamente lo que piden los ejercicios del tipo "probar que tiene a lo sumo dos soluciones".
El teorema de Fermat, que está atrás de todo
Rolle se demuestra con un resultado previo: si f tiene un extremo local en un punto interior y es derivable ahí, entonces f′ = 0 en ese punto. Eso es el teorema de Fermat, y es la razón por la que buscar máximos y mínimos empieza siempre por resolver f′(x) = 0.
Dos advertencias que van con él: la recíproca es falsa (f′ = 0 no garantiza extremo, como en x³ en el origen), y sólo vale en puntos interiores — en un extremo del intervalo puede haber un máximo sin que la derivada se anule.
Verificar las hipótesis de Rolle para f(x) = √x − x/3 en [0, 9] y hallar el c.
Hipótesis.
- Continua en [0, 9]: √x es continua en [0, +∞) y x/3 en todo ℝ. ✓
- Derivable en (0, 9): √x es derivable para x > 0 (en 0 tiene tangente vertical, pero el 0 no está en el intervalo abierto). ✓
- f(0) = 0 − 0 = 0 y f(9) = 3 − 3 = 0. Iguales. ✓
Buscar el c. Derivo e igualo a cero:
1/(2√x) = 1/3 → 2√x = 3 → √x = 3/2 → x = 9/4
Y 9/4 = 2,25 está efectivamente adentro de (0, 9). ✓
Qué acaba de decir el teorema
Que la función sale y vuelve a la misma altura —f(0) = f(9) = 0— obliga a que en algún punto intermedio se haya dado vuelta, y ahí la tangente es horizontal. Acá ese punto es c = 9/4, y se puede ver el valor: f(9/4) = 3/2 − 3/4 = 3/4, que es el máximo de la función en el intervalo. Evaluando alrededor —f(2) = 0,7475 y f(2,5) = 0,7478— se confirma que 0,75 es el más alto de los tres.
Las hipótesis no son burocracia
Si se cae una, la conclusión se cae con ella. El contraejemplo que conviene tener a mano es f(x) = |x| en [−1, 1]: es continua, y f(−1) = f(1) = 1, así que cumple dos de las tres hipótesis. Pero no es derivable en 0, y en efecto no existe ningún c con f ′(c) = 0: la derivada vale −1 a la izquierda y +1 a la derecha, y nunca cero. Un solo punto sin derivada alcanza para romper el teorema.
Verificar que f(x) = x·√(4 − x) cumple las hipótesis del teorema de Rolle en [0, 4] y hallar el valor de c que asegura la tesis. Prestar atención a lo que pasa con la derivada en x = 4.
Rolle pide tres hipótesis, y hay que verificarlas una por una, con esas palabras. El punto del ejercicio está ahí, no en el número final.
Hipótesis 1: f continua en el intervalo cerrado [0, 4]. Es un producto de x —continua siempre— por √(4 − x), que es continua donde 4 − x ≥ 0, o sea en (−∞, 4]. El intervalo [0, 4] está adentro ✓.
Hipótesis 2: f derivable en el intervalo abierto (0, 4). Acá está el detalle. La derivada es:
f ′(x) = [2(4 − x) − x] / (2√(4 − x)) = (8 − 3x)/(2√(4 − x))
En x = 4 el denominador se anula y la derivada tiende a −∞: f no es derivable en 4. Y sin embargo la hipótesis se cumple, porque Rolle pide derivabilidad en el intervalo abierto (0, 4), y el 4 no está ahí ✓.
Que el cerrado y el abierto sean distintos no es un capricho de la redacción del teorema: es exactamente lo que permite aplicarlo a funciones como esta, con tangente vertical en un extremo.
Hipótesis 3: f(0) = f(4).
f(4) = 4·√0 = 0 ✓
Se cumplen las tres, así que la tesis vale: existe c ∈ (0, 4) con f ′(c) = 0.
A buscar ese c. Una fracción se anula cuando se anula el numerador:
Control obligatorio: que c caiga adentro del intervalo abierto. 0 < 8/3 < 4 ✓. Si te hubiera dado 5, el error estaba antes.
El valor de f ahí, por si el enunciado pide el punto del gráfico:
Lo que dice el teorema, en palabras: la función arranca en 0 y vuelve a 0, así que en algún punto del medio tuvo que dejar de subir para empezar a bajar. Ese punto es el máximo, y ahí la tangente es horizontal.
Dónde se pierde el punto: decir «no se puede aplicar Rolle porque f no es derivable en 4». Sí se puede: la derivabilidad se pide en el abierto. Es la confusión que este ejercicio está justamente evaluando.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarlo sin chequear f(a) = f(b).
- Olvidar que la derivabilidad se pide en el intervalo abierto y la continuidad en el cerrado.
- Concluir que el c es único. Rolle dice "existe al menos uno".
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema de Rolle →Los otros temas de la unidad 5
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