Análisis Matemático I · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Teorema del valor medio (Lagrange)
La velocidad promedio en un viaje siempre se alcanza en algún instante puntual. Eso es Lagrange, y es el teorema más útil de toda la materia.
La explicación
Qué dice Lagrange
f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).
Del lado derecho está la pendiente de la secante entre los extremos; del izquierdo, la de la tangente en algún punto del medio. El teorema dice que en algún lugar las dos coinciden.
Rolle es el caso particular en que f(a) = f(b), o sea cuando la secante es horizontal. Y al revés: Lagrange se demuestra aplicando Rolle a la función que mide la distancia vertical entre f y su secante.
La lectura física
Si f es la posición, la secante es la velocidad media del viaje y la tangente la instantánea. El teorema dice: si promediaste 80 km/h, en algún instante fuiste exactamente a 80. Es el argumento de los radares por tramos, y es la forma más rápida de recordar qué afirma.
Para qué se usa de verdad: acotar
Lagrange casi nunca se usa para hallar el c. Se usa al revés: sabiendo cuánto puede valer f′, se acota cuánto pudo cambiar f. Reescrito:
Si f′ está entre m y M en todo el intervalo, entonces el cambio de f está entre m(b−a) y M(b−a). Sin conocer f.
Tipo A — "si la derivada no supera K, ¿cuánto puede valer f(b) como máximo?" → f(a) + K(b−a).
Tipo B — "¿existe una función con estos valores y esta cota en la derivada?" → se calcula la pendiente de la secante; si supera la cota, la respuesta es que no existe.
Demostrar desigualdades
Es la otra aplicación estrella. Para probar |sen(a) − sen(b)| ≤ |a − b| se aplica Lagrange al seno: la diferencia es cos(c)·(a − b) para algún c, y como |cos(c)| ≤ 1 siempre, la desigualdad sale sola.
El patrón es siempre el mismo: aplicar el teorema, acotar la derivada, y listo. El c nunca se calcula, y no hace falta.
Las consecuencias que se usan después
- Si f′ = 0 en todo un intervalo, entonces f es constante ahí. Parece obvio y no lo es: es lo que justifica que dos primitivas de la misma función difieran en una constante, que es la base de toda la unidad de integrales.
- Si f′ > 0 en un intervalo, f es estrictamente creciente ahí; si f′ < 0, decreciente. Es lo que permite estudiar el crecimiento mirando el signo de la derivada, que es el tema siguiente.
- Si f′ = g′ en un intervalo, entonces f y g difieren en una constante.
El detalle de "en un intervalo" importa. En un dominio partido en dos pedazos, cada pedazo puede tener su propia constante: por eso la primitiva de 1/x es ln|x| + C en cada rama, y las dos constantes no tienen por qué ser la misma.
El teorema de Cauchy
Es la versión con dos funciones:
Con g(x) = x se recupera Lagrange. No se usa directamente casi nunca, pero es el teorema con el que se demuestra la regla de L’Hôpital, así que vale saber que está.
Un auto recorre 40 km entre dos puestos de control en 11 minutos. El límite es 120 km/h y el conductor jura que nunca lo superó. ¿Se le puede probar lo contrario?
Sea s(t) la posición del auto. Es continua y derivable (el auto no se teletransporta ni cambia de velocidad de forma infinitamente brusca).
La velocidad promedio en ese tramo fue:
Por Lagrange, existe un instante c en el que la velocidad instantánea fue exactamente igual a la promedio:
O sea: en algún momento fue a 218 km/h. No hace falta haberlo visto ni tener un radar en ese punto: el teorema garantiza que ocurrió. La multa está bien puesta.
Dónde se cae la mayoría
- Confundirlo con el teorema del valor intermedio: ese es sobre valores de f, este es sobre la derivada.
- Buscar el c sin verificar antes continuidad y derivabilidad.
- Usar la fórmula al revés: la pendiente de la secante es (f(b)−f(a))/(b−a), no (b−a)/(f(b)−f(a)).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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