Análisis Matemático I · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Regla de L'Hôpital
Ante 0/0 o ∞/∞, derivás arriba y abajo por separado (no es la regla del cociente) y volvés a probar. Es la herramienta más cómoda del curso y también la más maltratada.
La explicación
El enunciado
Se derivan numerador y denominador por separado. No es la regla del cociente, y confundirlas es el error mecánico más común del tema.
Las dos condiciones que hay que verificar
- Que sea indeterminado. Aplicarla a algo que no lo es da resultados falsos: en límx→0 (x+1)/(x+2), que vale 1/2, derivar arriba y abajo daría 1.
- Que el límite de las derivadas exista. Si no existe, el teorema no dice nada — y en particular no permite concluir que el original tampoco exista.
La segunda es la sutileza que separa entender el teorema de aplicarlo de memoria. En límx→+∞ (x + sen x)/x el cociente de derivadas es 1 + cos(x), que oscila para siempre; sin embargo el límite original vale 1, y se calcula dividiendo por x.
Se puede aplicar varias veces
Si después de derivar sigue siendo indeterminado, se vuelve a aplicar. Pero hay que volver a verificar cada vez: en cuanto deja de ser indeterminado, se reemplaza y se termina. Seguir derendo de más da cualquier cosa.
Y si el asunto se pone largo, a veces conviene frenar y usar otra herramienta: una identidad, un límite notable, o sacar factor común. Derivar cuatro veces una expresión con secantes y tangentes es donde aparecen los errores.
Las otras indeterminaciones, y cómo llevarlas a la forma que sirve
L’Hôpital sólo se aplica a 0/0 y ∞/∞. Las demás hay que convertirlas primero:
∞ − ∞ → sacar factor común, o unificar en una fracción
1∞, 0⁰, ∞⁰ → tomar logaritmo
1. Llamar L al límite y tomar ln: ln(L) = lím de g(x)·ln(f(x)).
2. Eso es 0·∞, así que se acomoda como cociente y se aplica la regla.
3. Al final hay que volver: si ln(L) = k, entonces L = ek. Olvidarse de este paso y contestar k es un error frecuente y caro.
En 0·∞ la elección de cuál factor pasar abajo no es indiferente: una de las dos opciones suele dar una expresión que se simplifica y la otra una que se complica más a cada derivada. Si la primera se pone fea, probá la otra.
Cuándo NO conviene aunque se pueda
Para cocientes de polinomios en el infinito, comparar grados es instantáneo y derivar es dar vueltas. Para sen(x)/x, usar el límite notable es más honesto — y además, derivarlo usa la derivada del seno, que se demuestra con ese mismo límite: sería circular.
L’Hôpital es una herramienta poderosa, no la primera que hay que sacar.
Calcular lím(x→0) (eˣ − 1 − x)/x².
Verifico: arriba e⁰ − 1 − 0 = 0, abajo 0. Es 0/0, se puede aplicar. ✓
Primera aplicación (derivo arriba y abajo por separado):
→ lím(x→0) (eˣ − 1)/(2x)
Reemplazo: (1 − 1)/0 = 0/0. Sigue indeterminado, así que aplico de nuevo.
Segunda aplicación:
→ lím(x→0) eˣ/2 = 1/2
Detalle importante: en cada paso hay que volver a verificar que sigue siendo indeterminado. Si en el segundo paso hubiera dado un número, ahí terminaba.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarla sin verificar que hay indeterminación.
- Derivar el cociente con la regla del cociente. Es arriba y abajo por separado.
- En las formas 1^∞, olvidar aplicar la exponencial al final.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Regla de L'Hôpital →