Análisis Matemático I (66) · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Regla de L'Hôpital
Ante 0/0 o ∞/∞, derivás arriba y abajo por separado (no es la regla del cociente) y volvés a probar. Es la herramienta más cómoda del curso y también la más maltratada.
La explicación
El enunciado
Se derivan numerador y denominador por separado. No es la regla del cociente, y confundirlas es el error mecánico más común del tema.
Las dos condiciones que hay que verificar
- Que sea indeterminado. Aplicarla a algo que no lo es da resultados falsos: en límx→0 (x+1)/(x+2), que vale 1/2, derivar arriba y abajo daría 1.
- Que el límite de las derivadas exista. Si no existe, el teorema no dice nada — y en particular no permite concluir que el original tampoco exista.
La segunda es la sutileza que separa entender el teorema de aplicarlo de memoria. En límx→+∞ (x + sen x)/x el cociente de derivadas es 1 + cos(x), que oscila para siempre; sin embargo el límite original vale 1, y se calcula dividiendo por x.
Se puede aplicar varias veces
Si después de derivar sigue siendo indeterminado, se vuelve a aplicar. Pero hay que volver a verificar cada vez: en cuanto deja de ser indeterminado, se reemplaza y se termina. Seguir derivando de más da cualquier cosa.
Y si el asunto se pone largo, a veces conviene frenar y usar otra herramienta: una identidad, un límite notable, o sacar factor común. Derivar cuatro veces una expresión con secantes y tangentes es donde aparecen los errores.
Las otras indeterminaciones, y cómo llevarlas a la forma que sirve
L’Hôpital sólo se aplica a 0/0 y ∞/∞. Las demás hay que convertirlas primero:
∞ − ∞ → sacar factor común, o unificar en una fracción
1∞, 0⁰, ∞⁰ → tomar logaritmo
1. Llamar L al límite y tomar ln: ln(L) = lím de g(x)·ln(f(x)).
2. Eso es 0·∞, así que se acomoda como cociente y se aplica la regla.
3. Al final hay que volver: si ln(L) = k, entonces L = ek. Olvidarse de este paso y contestar k es un error frecuente y caro.
En 0·∞ la elección de cuál factor pasar abajo no es indiferente: una de las dos opciones suele dar una expresión que se simplifica y la otra una que se complica más a cada derivada. Si la primera se pone fea, probá la otra.
Cuándo NO conviene aunque se pueda
Para cocientes de polinomios en el infinito, comparar grados es instantáneo y derivar es dar vueltas. Para sen(x)/x, usar el límite notable es más honesto — y además, derivarlo usa la derivada del seno, que se demuestra con ese mismo límite: sería circular.
L’Hôpital es una herramienta poderosa, no la primera que hay que sacar.
Calcular lím(x→0) (eˣ − 1 − x)/x².
Verifico: arriba e⁰ − 1 − 0 = 0, abajo 0. Es 0/0, se puede aplicar. ✓
Primera aplicación (derivo arriba y abajo por separado):
→ lím(x→0) (eˣ − 1)/(2x)
Reemplazo: (1 − 1)/0 = 0/0. Sigue indeterminado, así que aplico de nuevo.
Segunda aplicación:
→ lím(x→0) eˣ/2 = 1/2
Detalle importante: en cada paso hay que volver a verificar que sigue siendo indeterminado. Si en el segundo paso hubiera dado un número, ahí terminaba.
Calcular lím(x→0⁺) x·ln(x), lím(x→+∞) x²/eˣ y, usando el primero, lím(x→0⁺) xˣ. Indicar en cada caso qué indeterminación hay.
Los tres están conectados, y ese es el punto: el tercero se resuelve con el primero. Conviene hacerlos en orden.
Primero: x·ln(x) con x → 0⁺. Es 0·(−∞), que es indeterminado. L'Hôpital solo trabaja con 0/0 o ∞/∞, así que hay que reescribirlo como cociente.
Hay dos formas de hacerlo, y solo una sirve:
opción B: x/(1/ln x) → 0/0, pero derivar 1/ln x empeora todo
Con la opción A:
La regla práctica: en un 0·∞, se pasa abajo el factor más feo de derivar (acá el 1/x, que al derivarse se simplifica). Si elegís mal, L'Hôpital te devuelve algo peor que lo que tenías.
Control numérico: con x = 10⁻⁸, x·ln x ≈ −1,8 × 10⁻⁷, ya pegado a cero ✓.
Segundo: x²/eˣ con x → +∞. Es ∞/∞, y L'Hôpital se aplica directo. Dos veces:
= lím 2/eˣ = 2/∞ = 0
Lo que hay que retener: la exponencial le gana a cualquier potencia. Con xⁿ arriba harían falta n aplicaciones, y siempre termina en n!/eˣ → 0.
Tercero: xˣ con x → 0⁺. Es 0⁰, indeterminado. La técnica para las indeterminaciones con exponente es siempre la misma: pasar por la exponencial.
Y en el exponente está justo el primer límite, que ya calculamos:
Ese paso vale porque la exponencial es continua, y eso permite meter el límite adentro. Conviene decirlo: es el permiso que hace legal el cálculo.
Control numérico: con x = 0,000001, xˣ ≈ 0,99999 ✓. Se acerca a 1 muy despacio, y por eso no se puede «adivinar» con la calculadora sin hacer la cuenta.
Dónde se pierde el punto: aplicar L'Hôpital a 0·∞ sin reescribirlo como cociente (no se puede: la regla está enunciada para cocientes), y contestar 0⁰ = 1 «porque todo elevado a cero es 1». No: 0⁰ es indeterminado, y hay funciones de esa forma cuyo límite no es 1.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarla sin verificar que hay indeterminación.
- Derivar el cociente con la regla del cociente. Es arriba y abajo por separado.
- En las formas 1^∞, olvidar aplicar la exponencial al final.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Regla de L'Hôpital →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La derivada por definición25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Teoremas del cálculo diferencial