Análisis Matemático I · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Crecimiento, decrecimiento y extremos
El signo de la primera derivada te dice si la función sube o baja. Donde cambia de signo, hay un máximo o un mínimo. Todo el estudio de funciones sale de ahí.
La explicación
El signo de la derivada manda
f′ < 0 en un intervalo ⟹ f decrece ahí
Esto no es una definición: es una consecuencia del teorema de Lagrange, y por eso vale sólo en intervalos. En un dominio partido, cada pedazo se analiza por separado y no se pueden comparar valores entre pedazos.
Puntos críticos
Son los candidatos a extremo. Hay dos clases y se olvida la segunda:
- Donde f′ = 0.
- Donde f′ no existe pero f sí, como el vértice de |x|.
Que un punto sea crítico no garantiza que sea extremo: en x³ la derivada se anula en el origen y no hay ni máximo ni mínimo. Por eso después de encontrarlos hay que clasificarlos.
El método completo
2. Calcular f′ y hallar los puntos críticos.
3. Marcar en la recta los críticos y también los puntos que no están en el dominio.
4. Estudiar el signo de f′ en cada intervalo con un punto de prueba.
5. Clasificar mirando cómo cambia el signo.
El paso 3 es el que más se saltea: si hay una asíntota vertical, ahí el signo de f′ puede cambiar sin que haya punto crítico, y la tabla queda mal armada.
Clasificar: los dos criterios
Primera derivada — se mira el cambio de signo de f′:
de − a + → mínimo local
no cambia → no es extremo
Segunda derivada — más rápido cuando la segunda es fácil de calcular:
f′(c) = 0 y f″(c) < 0 → máximo
f″(c) = 0 → no decide nada
Ese último caso es la limitación del criterio, y es por qué el de la primera derivada nunca falla: en x³ y en x⁴ la segunda derivada se anula en el origen, y sin embargo una tiene inflexión y la otra un mínimo.
Local no es absoluto
Un máximo local es el más alto de su vecindario; uno absoluto es el más alto de todo el dominio. Una función puede tener muchos locales y ningún absoluto, como x³ − 3x, que se va a ±∞.
1. el valor en cada punto crítico interior,
2. el valor en los dos extremos del intervalo,
y quedarse con el mayor y el menor. Los extremos del intervalo no son puntos críticos y aun así pueden ser el máximo: olvidarlos es el error clásico.
El teorema de Weierstrass garantiza que en un cerrado y acotado los absolutos existen, si f es continua. En un abierto pueden no existir.
Hallar intervalos de crecimiento y extremos locales de f(x) = 2x³ − 3x² − 36x.
1. Derivo y busco críticos.
Se anula en x = −2 y x = 3. Como es un polinomio, f ′ existe en todos lados: esos son los únicos críticos.
2. Estudio el signo de f ′ con puntos de prueba en los tres tramos:
x = 0: 6(−3)(2) = −36 < 0 → decreciente
x = 4: 6(1)(6) = +36 > 0 → creciente
3. Conclusión.
x = −2: máximo local (pasa de + a −)
x = 3: mínimo local (pasa de − a +)
Con el criterio de la segunda: f ″(x) = 12x − 6, y f ″(−2) = −30 < 0 (máximo) y f ″(3) = 30 > 0 (mínimo). Coincide. ✓
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar evaluar en los extremos del intervalo al buscar máximos absolutos.
- Suponer que todo punto crítico es extremo. x³ en 0 es el contraejemplo.
- Usar el criterio de la segunda derivada cuando f ″(c) = 0 y concluir algo igual.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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