Análisis Matemático I (66) · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada dice cómo se curva el gráfico: si la sonrisa mira para arriba o para abajo. Los puntos donde cambia esa curvatura son las inflexiones.
La explicación
Qué mide la segunda derivada
f′ dice si la función sube o baja. f″ dice si esa subida se está acelerando o frenando, y eso es la concavidad:
f″ < 0 → cóncava hacia abajo (forma de gorra)
Las dos cosas son independientes: una función puede crecer acelerando (f′ > 0, f″ > 0) o crecer cada vez más despacio (f′ > 0, f″ < 0). Las cuatro combinaciones existen y dan cuatro formas de curva distintas.
Una lectura equivalente que ayuda a dibujar: una curva cóncava hacia arriba queda por encima de todas sus tangentes, y una cóncava hacia abajo, por debajo. De ahí sale directamente si una aproximación lineal sobra o falta.
Puntos de inflexión
Son los puntos donde la concavidad cambia. El procedimiento:
2. Estudiar el signo de f″ a cada lado de esos puntos.
3. Hay inflexión sólo si el signo cambia.
El paso 3 es el que separa el tema. Que f″ se anule no alcanza: en x⁴ la segunda derivada vale 0 en el origen y sin embargo es positiva de los dos lados, así que no hay inflexión. Es el mismo tipo de error que dar por sentado que f′ = 0 implica extremo.
Y el punto de inflexión es un punto del gráfico: hay que dar las dos coordenadas, no sólo la x.
También puede haber inflexión donde f″ no existe
Basta que f sea continua ahí y que la concavidad cambie. El caso típico es ∛x en el origen: tiene tangente vertical, f″ no existe, y sin embargo pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
El estudio completo de una función
Concavidad es la última pieza. El orden que conviene seguir, y que es el que esperan en el parcial:
2. Ceros y conjuntos de positividad y negatividad.
3. Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
4. f′: crecimiento, decrecimiento y extremos.
5. f″: concavidad e inflexiones.
6. Graficar juntando todo.
El gráfico al final no es un adorno: es el control. Si la información no cierra —una función que crece, es cóncava hacia arriba y tiene una asíntota horizontal por encima no puede ser— hay un error en alguno de los pasos anteriores.
Cómo se ve en el dibujo
- En un mínimo, la curva es cóncava hacia arriba; en un máximo, hacia abajo. Por eso funciona el criterio de la segunda derivada.
- En una inflexión la tangente cruza la curva en el punto de tangencia. Ojo con darlo vuelta: que una tangente corte a la curva en otro lado no dice nada. La tangente a y = x³ en x = 1 es y = 3x − 2, y la vuelve a cruzar en x = −2, donde no hay ninguna inflexión.
- Cerca de una asíntota horizontal, en las funciones de la materia la curva se aplana y f′ tiende a 0. No es un teorema —hay funciones que tienden a un valor mientras su derivada sigue oscilando—, pero sí un buen control: si en tu gráfico la curva se pega a la asíntota y la derecha te queda empinada, algo no cierra.
Estudiar la concavidad de f(x) = x³ − 6x² y hallar sus puntos de inflexión.
Derivo dos veces:
f ″(x) = 6x − 12
Busco dónde se anula: 6x − 12 = 0 → x = 2.
Estudio el signo a cada lado:
x > 2 → f ″ > 0 → convexa
Cambia de signo, así que x = 2 sí es punto de inflexión. La coordenada y es f(2) = 8 − 24 = −16, o sea el punto es (2, −16).
Como f ″ es lineal, cambia de signo sí o sí en su raíz. Cuando f ″ es una parábola o tiene raíces dobles, ahí hay que mirar con más cuidado.
Anular la segunda derivada no alcanza
Lo que define un punto de inflexión es el cambio de signo de f ″, no que valga cero. El contraejemplo obligatorio es f(x) = x⁴: su segunda derivada es 12x², que se anula en 0 pero es positiva de los dos lados, así que la función es convexa en todo ℝ y en 0 no hay inflexión. Es el mismo razonamiento que con f ′ y los extremos: la derivada que se anula marca un candidato, y lo que decide es qué pasa alrededor.
Qué se sabe ahora de la curva
Con la segunda derivada sola ya se puede decir bastante. Los puntos críticos salen de f ′(x) = 3x(x − 4) = 0, o sea x = 0 y x = 4. En x = 0 la función es cóncava (f ″(0) = −12 < 0), así que hay un máximo local, con f(0) = 0. En x = 4 es convexa (f ″(4) = 12 > 0), así que hay un mínimo local, con f(4) = −32. Y entre los dos, en x = 2, está la inflexión.
Estudiar la concavidad de f(x) = x⁴ − 6x² + 5 y hallar sus puntos de inflexión. Explicar después por qué x = 0 NO es punto de inflexión de g(x) = x⁴, aunque g″(0) = 0.
La concavidad la decide la derivada segunda, así que se calculan las dos derivadas y se estudia el signo de la segunda.
f ″(x) = 12x² − 12 = 12·(x² − 1) = 12·(x − 1)(x + 1)
Los candidatos a inflexión son donde f ″ se anula:
La tabla de signos. f ″ es una parábola con ramas hacia arriba y raíces en ±1:
(−1, 1): f ″ < 0 → cóncava hacia abajo
(1, +∞): f ″ > 0 → cóncava hacia arriba
Control con valores concretos: f ″(−2) = 36 > 0 ✓, f ″(0) = −12 < 0 ✓, f ″(2) = 36 > 0 ✓.
En los dos puntos hay cambio de concavidad, así que los dos son puntos de inflexión. Se calculan las ordenadas:
f(−1) = 1 − 6 + 5 = 0
Ahora la segunda parte, que es la pregunta conceptual. Para g(x) = x⁴:
g ″(x) = 12x²
g ″(0) = 0
Se anula, sí. Pero no cambia de signo:
g ″(1) = 12 > 0
12x² es un cuadrado por una constante positiva: es ≥ 0 siempre. La función es cóncava hacia arriba a los dos lados del cero, así que en x = 0 la concavidad no cambia y no hay inflexión. Lo que hay ahí es un mínimo.
La regla completa, que es lo que el ejercicio quiere dejar claro: que f ″(x₀) = 0 es condición necesaria pero no suficiente. El punto de inflexión exige que f ″ cambie de signo, y eso hay que verificarlo con la tabla, siempre.
El paralelo con la derivada primera. Es exactamente la misma estructura: f ′(x₀) = 0 no garantiza extremo (x³ en el cero es el contraejemplo), hace falta que f ′ cambie de signo. Los dos teoremas tienen la misma letra chica.
Dónde se pierde el punto: listar como puntos de inflexión todos los ceros de f ″ sin hacer la tabla. En este ejercicio da bien por casualidad —f ″ es una parábola y cambia de signo en las dos raíces— pero con una raíz doble, como en x⁴, la respuesta sería falsa.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que hay inflexión solo porque f ″(c) = 0, sin chequear el cambio de signo.
- Confundir convexa con creciente. Son cosas independientes: una función puede decrecer y ser convexa.
- Olvidar los puntos donde f ″ no existe: también pueden ser inflexiones.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Concavidad y puntos de inflexión →Los otros temas de la unidad 5
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