Análisis Matemático I (66) · Unidad 5 — Teoremas del cálculo diferencial
Problemas de optimización
Todo problema de optimización es el mismo: escribir lo que querés optimizar en función de UNA variable, derivar, igualar a cero. Lo difícil no es el cálculo, es armar la función.
La explicación
De qué se trata
Hay una cantidad que se quiere hacer máxima o mínima, y una restricción que liga las variables. El trabajo de análisis es corto; el trabajo real es armar la función, y ahí es donde se pierde el ejercicio.
El método
2. Escribir la cantidad a optimizar (el área, el costo, la distancia).
3. Escribir la restricción (el perímetro es fijo, el volumen está dado).
4. Usar la restricción para dejar todo en función de una sola variable.
5. Escribir el dominio que tiene sentido en el problema.
6. Derivar, hallar los críticos y clasificar.
7. Volver a la pregunta: contestar lo que preguntaron, con unidades.
Los pasos 5 y 7 son los que se olvidan
El dominio casi nunca es todo ℝ: las longitudes son positivas, y si el perímetro es 60, ningún lado puede medir más de 30. Escribirlo importa por dos razones: hay que verificar que el punto crítico caiga adentro, y si el intervalo es cerrado hay que comparar también los valores en los extremos.
El paso 7 parece una obviedad y no lo es. Si preguntan por las dimensiones, no alcanza con dar la x que anula la derivada: hay que dar los dos lados. Si preguntan por el área máxima, hay que dar el valor del área, no el punto donde se alcanza. Contestar el número correcto a la pregunta equivocada es una forma habitual de perder puntos con el ejercicio bien hecho.
Cómo justificar que es máximo
No alcanza con decir "la derivada se anula acá". Hay tres formas válidas, y con una basta:
- Signo de f′: pasa de positiva a negativa → máximo.
- Signo de f″ en el crítico: negativa → máximo.
- Comparar valores en el crítico y en los extremos del dominio, si es cerrado.
Las familias que se repiten
- Área máxima con perímetro fijo: la respuesta tiende a ser el caso más simétrico. Entre todos los rectángulos de perímetro dado, el de área máxima es el cuadrado.
- Corral contra una pared: la simetría se rompe porque un lado no lleva alambre, y el lado paralelo a la pared termina midiendo el doble de los otros dos.
- Caja sin tapa a partir de una hoja, recortando cuadraditos en las esquinas: el volumen queda cúbico en el lado del cuadradito.
- Distancia mínima de un punto a una curva: conviene minimizar el cuadrado de la distancia, que tiene el mismo mínimo y evita derivar una raíz.
- Lata de volumen dado con mínimo material: sale que la altura es igual al diámetro.
Ese último truco —minimizar el cuadrado en vez de la raíz— vale siempre que la función de afuera sea creciente, y ahorra la mitad de las cuentas.
Control de sentido
Antes de entregar, probá un par de valores cerca del óptimo: tienen que dar peor. Si el máximo que hallaste no es el mejor de los que probás a mano, algo está mal. Y mirá si el número es razonable: un corral de 450 m² con 60 m de alambre suena bien; uno de 4.500 m², no.
Cercar un rectángulo de 1200 m² de área. El frente y el fondo cuestan $12/m; los laterales, $9/m. ¿Qué dimensiones minimizan el costo?
Variables. x = frente, y = lado.
Objetivo (costo). Hay dos frentes (frente y fondo) y dos laterales:
Restricción. El área es 1200:
Reemplazo para tener una sola variable, con dominio x > 0:
Derivo e igualo a cero:
24x² = 21600 → x² = 900 → x = 30 (descarto −30)
Justifico que es mínimo: C″(x) = 43200/x³ > 0 para x > 0, así que C es convexa y el crítico es mínimo. ✓
C(30) = 24·30 + 21600/30 = 720 + 720 = $1440
Control gratis: en el mínimo los dos términos dan lo mismo, 720 y 720. No es casualidad —pasa siempre que la función es de la forma ax + b/x— y sirve para darse cuenta al toque si uno se equivocó: el costo es el doble de cualquiera de los dos. Ojo con reemplazar en C = 24x + 18y usando x en los dos lugares: ahí sale $1260, que es el error más común de este ejercicio.
Con una chapa rectangular de 24 cm × 15 cm se quiere armar una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado x en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Hallar el x que hace máximo el volumen y calcular ese volumen.
Lo primero es escribir la función a maximizar, y con qué variable. Al cortar x en cada esquina, la base de la caja pierde 2x en cada dirección, y la altura es justamente x.
ancho = 15 − 2x
alto = x
El dominio, que es parte de la respuesta. Los tres lados tienen que ser positivos:
Manda la condición más exigente, que es la del lado corto. Sin este paso, después no hay forma de descartar la raíz que sobra.
Se desarrolla para poder derivar cómodo:
Se deriva y se iguala a cero:
12x² − 156x + 360 = 0 → x² − 13x + 30 = 0
Con la resolvente:
x = 10 o x = 3
Se descarta x = 10, porque 10 > 7,5 y está fuera del dominio: con ese corte el ancho daría negativo. Queda x = 3.
Confirmar que es máximo y no mínimo, con la derivada segunda:
V ″(3) = 72 − 156 = −84 < 0 → máximo ✓
El volumen máximo:
El control por los bordes. Un máximo de verdad tiene que ser mayor que lo que pasa en las puntas del dominio:
V(7,5) = 0 (el ancho se anuló)
V(3) = 486 ✓
La función arranca en 0, sube hasta 486 y vuelve a 0: el máximo tiene que estar en el medio, y está.
Una comprobación extra, con un x cercano: V(2) = 2·20·11 = 440 y V(4) = 4·16·7 = 448. Los dos menores que 486 ✓.
Dónde se pierde el punto: quedarse con las dos raíces, o con la equivocada. El dominio no es un adorno del principio del ejercicio: es la herramienta que elige cuál de las dos respuestas es la buena.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar la función objetivo antes de haber usado la restricción para dejar una sola variable.
- Olvidar el dominio: dar como respuesta una longitud negativa.
- No justificar que el crítico hallado es realmente el máximo o el mínimo pedido.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Problemas de optimización →Los otros temas de la unidad 5
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