Análisis Matemático I (66) · Unidad 6 — Aproximación polinomial
Aproximación lineal y diferenciales
Cerca de un punto, toda función derivable se parece a su recta tangente. Esa es la idea que sostiene medio cálculo aplicado: reemplazar algo complicado por una recta y aceptar un error chico.
La explicación
La idea
Cerca de un punto, una función derivable se parece a su recta tangente. Tanto, que para cuentas aproximadas se la puede reemplazar directamente por ella:
Es la misma fórmula de la recta tangente de la unidad 4, leída de otra manera: allá era un objeto geométrico, acá es una herramienta de cálculo. Sirve para estimar valores que no se pueden calcular a mano, como √4,1 o sen(0,05).
La condición para que sirva es que x esté cerca de x₀. Cuanto más lejos, peor la aproximación, y eso se puede cuantificar (es el tema de 6.3).
Cómo elegir el x₀
Para √4,1 → x₀ = 4, porque √4 = 2 sale de memoria.
Para sen(0,05) → x₀ = 0, porque sen(0) = 0 y cos(0) = 1.
Para ln(1,02) → x₀ = 1, porque ln(1) = 0.
Si elegís un x₀ donde f o f′ no se calculan a mano, la aproximación no sirve para nada: el objetivo era justamente evitar la calculadora.
¿Sobra o falta? Lo dice la concavidad
Ésta es la pregunta que más se toma, y se contesta sin calcular el valor real:
f″ < 0 (cóncava hacia abajo) → la tangente queda por ENCIMA → la estimación SOBRA
La razón es la propiedad de la unidad 5: una curva cóncava hacia arriba queda siempre por encima de sus tangentes. Poder decir de qué lado está el error es lo que distingue este ejercicio de una cuenta.
Diferenciales
Es la misma idea con otra notación, la que se usa en física:
dx es un cambio chico en la variable y dy el cambio aproximado que eso produce en la función. El cambio real es Δy = f(x + dx) − f(x), y la diferencia entre dy y Δy es justamente el error de la aproximación lineal.
Propagación de errores
Es la aplicación seria de los diferenciales. Si medís el radio de una esfera con un error de ±0,1 cm, ¿con qué error queda el volumen?
error relativo: |dV/V| ≈ |V ′(r)/V(r)|·|dr|
El relativo suele ser el que importa, porque se expresa en porcentaje y es comparable entre magnitudes distintas. Un resultado que conviene conocer: en V = (4/3)πr³, un error relativo del 1% en el radio produce uno del 3% en el volumen. El exponente multiplica el error relativo, y por eso medir bien lo que va elevado al cubo importa el triple.
Un aviso
La aproximación lineal es exacta sólo si f es una recta. En cualquier otro caso hay error, y usarla lejos del punto da resultados sin sentido: aproximar √100 desde x₀ = 4 no tiene ninguna chance.
Estimar ∛8,5 usando la linealización de f(x) = ∛x en x₀ = 8.
Elijo x₀ = 8 porque ∛8 = 2 es exacto y está cerca de 8,5.
f ′(x) = (1/3)·x^(−2/3) → f ′(8) = (1/3)·(1/4) = 1/12
Armo la recta tangente:
Evalúo en 8,5:
El valor real es 2,04083…, así que el error es de unas 8 diezmilésimas. Nada mal para una cuenta hecha sin calculadora.
Por qué quedó de más, y se sabía de antemano
La estimación cayó por encima del valor verdadero, y eso no es casualidad. La derivada segunda de ∛x es negativa, así que la función es cóncava hacia abajo y su gráfico queda siempre por debajo de cualquier recta tangente. Con una función convexa —x², por ejemplo— pasa exactamente lo contrario y la linealización siempre queda corta. Mirar el signo de f ″ antes de calcular te dice de qué lado va a errar.
Hasta dónde se puede estirar
La aproximación sirve cerca de x₀, y conviene ver a qué velocidad se rompe:
a 1 del centro (x = 9): L = 2,083333 real 2,080084 error 0,00325
a 2 del centro (x = 10): L = 2,166667 real 2,154435 error 0,01223
Al doble de distancia el error se multiplica por cuatro, no por dos: el error de la aproximación lineal crece como el cuadrado de (x − x₀). De ahí salen las dos consecuencias prácticas — conviene elegir el x₀ más cercano que se sepa de memoria, y a partir de cierta distancia ya no tiene sentido usar la tangente.
El control que hay que hacer siempre
Elegir mal el centro es el error típico del tema. Para ∛8,5 no sirve x₀ = 0, donde la derivada ni siquiera existe, ni x₀ = 1, que queda demasiado lejos. El criterio es doble: que f(x₀) y f ′(x₀) den exactos, y que x₀ esté lo más cerca posible del punto pedido. Para raíces cúbicas los candidatos son siempre los cubos perfectos —1, 8, 27, 64— y para raíces cuadradas, los cuadrados perfectos.
Estimar √101 usando la aproximación lineal de f(x) = √x en x₀ = 100. Acotar el error cometido con el resto de Lagrange y comparar esa cota con el error real.
La idea de la aproximación lineal: cerca de x₀, la función se parece a su recta tangente. Elegir x₀ = 100 no es casual: es el cuadrado perfecto más cercano a 101, donde la raíz se sabe de memoria.
Los dos datos que hacen falta:
f ′(x) = 1/(2√x) → f ′(100) = 1/20 = 0,05
La recta tangente, que es el polinomio de Taylor de orden 1:
Se evalúa en 101:
Ahora la cota del error, con el resto de Lagrange de orden 1:
Hace falta la derivada segunda:
f ″(x) = −(1/4)·x^(−3/2) = −1/(4·x√x)
Se acota en el intervalo. |f ″| es decreciente ahí, así que su máximo está en el extremo izquierdo, en x = 100:
El error real, para comparar:
error = |10,05 − 10,0498756| = 0,0001244
La cota funcionó y quedó ajustadísima: 0,0001244 < 0,000125. La diferencia entre las dos está en el tercer dígito significativo.
Por qué la cota es tan buena acá. Porque el intervalo es cortito (mide 1) y f ″ casi no cambia entre 100 y 101. Cuanto más lejos de x₀ estimás, peor se pone: con √121 la cota daría 0,000125·21² ≈ 0,055, más de cuatrocientas veces más grande, y la estimación L(121) = 10 + 21/20 = 11,05 contra el valor real 11: un error de 0,05, todavía adentro de la cota pero ya visible.
El signo del error también se puede anticipar. f ″ < 0, así que la función es cóncava hacia abajo y la tangente queda por encima: la estimación 10,05 tiene que ser mayor que el valor real, y lo es.
Dónde se pierde el punto: acotar |f ″| evaluando en el punto equivocado. Hay que buscar el máximo de |f ″| en todo el intervalo [100, 101], y para eso conviene ver si |f ″| crece o decrece ahí; no alcanza con reemplazar en x₀ sin justificar.
Dónde se cae la mayoría
- Usar la linealización lejos de x₀: ahí el error deja de ser chico.
- Confundir el error absoluto con el relativo. El relativo es el que se compara entre magnitudes distintas.
- Trabajar ángulos en grados: para derivar trigonométricas, dx tiene que estar en radianes.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Aproximación lineal y diferenciales →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Taylor y la cota del error25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 6
Aproximación polinomial