Análisis Matemático I (66) · Unidad 6 — Aproximación polinomial
Polinomio de Taylor
Si con una recta la aproximación es buena, con una parábola es mejor, y con un polinomio de grado n mejor todavía. Taylor construye ese polinomio pidiendo que todas las derivadas coincidan en un punto.
La explicación
La idea: más grados, mejor copia
La aproximación lineal usa una recta, que sólo puede imitar el valor y la pendiente. Con un polinomio de grado n se pueden imitar además la concavidad y todo lo que sigue:
La condición que lo define es: Pn y f coinciden en x₀ hasta la derivada n-ésima. Ese es el criterio, y el factorial del denominador está exactamente para que eso ocurra.
Con n = 1 se recupera la recta tangente. Taylor es la generalización natural de lo anterior, no un tema nuevo.
Los que conviene tener de memoria
sen(x) ≈ x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos(x) ≈ 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1+x) ≈ x − x²/2 + x³/3 − …
1/(1−x) ≈ 1 + x + x² + x³ + …
Dos observaciones que ahorran cuentas: el seno sólo tiene potencias impares y el coseno sólo pares, porque uno es impar y el otro par. Entonces el P₃ y el P₄ del seno son el mismo polinomio, y eso conviene aprovecharlo al acotar el error: se usa el orden más alto, que da una cota más fina.
Centrado en x₀ distinto de 0
Cuando el centro no es el origen, todo se escribe en potencias de (x − x₀), no de x. Es el error más frecuente del tema: desarrollar en x y "corregir" después no funciona.
El x₀ se elige por las mismas razones que en la aproximación lineal: donde las derivadas sean fáciles y cerca de donde se va a evaluar.
Atajos que evitan derivar n veces
Multiplicar por una potencia: el de x·sen(x) es el del seno multiplicado por x.
Sumar: el de e^x + cos(x) es la suma de los dos.
Derivar o integrar término a término también vale.
Un caso especial que aparece: el Taylor de un polinomio es el polinomio mismo, si el orden alcanza. Tiene sentido, porque un polinomio ya coincide consigo mismo en todas sus derivadas. Si el orden pedido es menor que el grado, quedan truncados los términos de más arriba.
Para qué se usa además de aproximar
Para calcular límites indeterminados, y muchas veces es más rápido que L’Hôpital. Para límx→0 (sen x − x)/x³, reemplazando el seno por x − x³/6 queda (−x³/6)/x³ = −1/6, sin derivar tres veces.
La regla al usarlo así: hay que desarrollar hasta el orden en que los términos dejan de cancelarse. Si te quedás corto, el resultado da 0 o infinito falsamente.
Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de f(x) = cos(x) centrado en x₀ = 0.
Voy calculando derivadas y evaluando en 0:
f ′(x) = −sen x → f ′(0) = 0
f ″(x) = −cos x → f ″(0) = −1
f ‴(x) = sen x → f ‴(0) = 0
f⁗(x) = cos x → f⁗(0) = 1
Armo el polinomio dividiendo por los factoriales:
= 1 − x²/2 + x⁴/24
Los términos impares se van porque el coseno es una función par: su desarrollo solo puede tener potencias pares. Ese tipo de control te avisa si te equivocaste en alguna derivada.
Prueba rápida: para x = 0,1, P₄ da 0,9950042, y cos(0,1) = 0,9950042. Coinciden en 7 decimales.
Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de f(x) = ln(x) centrado en x₀ = 1 y usarlo para estimar ln(1,2). Comparar con el valor real.
Por qué centrarlo en 1 y no en 0: ln(x) no está definida en 0. El 1 es el punto natural, porque ahí el logaritmo vale cero y todas sus derivadas son fáciles.
Se calculan las derivadas hasta el orden 3 y se evalúan en 1:
f ′(x) = 1/x = x⁻¹ → f ′(1) = 1
f ″(x) = −x⁻² → f ″(1) = −1
f ‴(x) = 2x⁻³ → f ‴(1) = 2
Conviene escribir las derivadas como potencias (x⁻¹, x⁻², x⁻³) en vez de fracciones: los signos y los factores salen solos y no hay que pensarlos.
La fórmula de Taylor centrada en 1:
Se reemplaza:
Ojo con los factoriales: 2! = 2 y 3! = 6, y ese 6 con el 2 de la tercera derivada dejan 1/3, no 1/6. Es el paso donde más se equivoca.
Ahora la estimación. Se evalúa en x = 1,2, así que x − 1 = 0,2:
= 0,2 − 0,04/2 + 0,008/3
= 0,2 − 0,02 + 0,002667
= 0,182667
El valor real:
error ≈ 0,00035
Tres cifras correctas con tres términos. Y se puede ver el patrón: cada término aporta aproximadamente un dígito más, porque 0,2 elevado a n se achica rápido.
El patrón general, que es lo que el ejercicio quiere que veas:
Los signos alternan y los denominadores son 1, 2, 3, 4… Con eso se puede escribir el término de cualquier orden sin volver a derivar, lo que ahorra muchísimo si el parcial pide orden 5.
Un control que conviene hacer: P₃(1) tiene que dar 0, porque el polinomio de Taylor coincide con la función en el centro. Reemplazando x = 1 queda 0 − 0 + 0 = 0 ✓.
Dónde se pierde el punto: escribir el polinomio en potencias de x en vez de (x − 1). Un Taylor centrado en 1 va en potencias de (x − 1); si desarrollás los paréntesis, la fórmula deja de ser reconocible y evaluar en 1,2 se vuelve un lío.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar dividir por el factorial.
- Escribir potencias de x cuando el centro no es 0: si x₀ = 2, van potencias de (x−2).
- Confundir el orden con la cantidad de términos: el de orden 3 tiene hasta x³, o sea cuatro términos (contando el independiente).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Polinomio de Taylor →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Taylor y la cota del error25 puntos · resuelto paso a paso
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