Análisis Matemático I · Unidad 6 — Aproximación polinomial
Resto de Taylor y cotas de error
Aproximar sin saber cuánto te equivocás no sirve para nada. El resto de Lagrange te da una cota del error, y con eso podés decidir qué orden usar.
La explicación
Qué es el resto
Es lo que le falta al polinomio para ser exactamente la función:
La fórmula de Lagrange le da una expresión:
Tiene la misma forma que el término siguiente del polinomio, con dos diferencias que importan: la derivada se evalúa en un punto c desconocido, no en x₀. Por eso el resto no se calcula: se acota.
El procedimiento
2. Buscar un M que acote esa derivada en todo el intervalo entre x₀ y x. Acá está el trabajo.
3. Escribir |Rn(x)| ≤ M·|x − x₀|n+1/(n+1)!
4. Hacer la cuenta.
El paso 2 es el único que pide criterio. Como no se sabe dónde está c, hay que usar el peor caso del intervalo. Dos situaciones:
- Seno y coseno: todas sus derivadas están acotadas por 1, siempre. M = 1 y listo.
- Exponencial: es creciente, así que su máximo en el intervalo está en el extremo derecho.
Usar una cota más grande de la necesaria no está mal: da un resultado más flojo pero correcto. Usar una más chica sí está mal, porque entonces la desigualdad puede no valer.
Los dos tipos de ejercicio
Tipo A — dado el orden, acotar el error. Es aplicar el procedimiento de arriba tal cual.
Tipo B — dado el error tolerado, hallar el orden o el intervalo. Se plantea la cota < error pedido y se despeja. Si la incógnita es n, casi nunca se despeja analíticamente: se prueban valores hasta que la cota entre. Si la incógnita es el intervalo de x, sí se despeja.
El control que hay que hacer siempre
Cuando se puede calcular el valor real, la cota tiene que ser mayor que el error real. Si te da menor, hay un error de cuentas seguro. Y no tiene por qué dar parecida: una cota puede ser varias veces el error verdadero y seguir siendo correcta, porque se construyó pensando en el peor caso.
Qué pasa al aumentar el orden
Para las funciones que se ven en el curso, el resto tiende a 0 cuando n crece y la aproximación mejora. Pero mejora cerca del centro: lejos de x₀ el polinomio se despega igual, por más grados que le agregues. Graficar f junto a P₂, P₄ y P₆ muestra exactamente eso, y es el mejor modo de entender qué hace Taylor y qué no.
Eso conecta con la unidad 8: cuando el resto tiende a 0 en todo un intervalo, la sucesión de polinomios converge a la función, y esa es la serie de Taylor.
Estimar cos(10°) con el polinomio de Taylor de orden 4 en x₀ = 0 y acotar el error.
Primero paso a radianes: 10° = π/18 ≈ 0.1745.
La estimación, con P₄(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24:
La cota del error. Necesito la derivada de orden 5 del coseno, que es −sen(x). Como |−sen(c)| ≤ 1 para cualquier c, tomo M = 1:
O sea que la estimación es correcta hasta la octava cifra decimal. Y efectivamente, cos(10°) = 0.98480775…, que coincide.
Con solo tres términos y sin calculadora científica se consiguen ocho decimales exactos: esa es la potencia del método.
Dónde se cae la mayoría
- Usar la derivada de orden n en la cota. Va la de orden n+1.
- Olvidar el factorial (n+1)! del denominador.
- Evaluar la cota M en el centro en vez de tomar el máximo en todo el intervalo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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