Análisis Matemático I (66) · Unidad 6 — Aproximación polinomial
Resto de Taylor y cotas de error
Aproximar sin saber cuánto te equivocás no sirve para nada. El resto de Lagrange te da una cota del error, y con eso podés decidir qué orden usar.
La explicación
Qué es el resto
Es lo que le falta al polinomio para ser exactamente la función:
La fórmula de Lagrange le da una expresión:
Tiene la misma forma que el término siguiente del polinomio, con una sola diferencia, y es la que lo cambia todo: la derivada se evalúa en un punto c desconocido, no en x₀. Por eso el resto no se calcula: se acota.
El procedimiento
2. Buscar un M que acote esa derivada en todo el intervalo entre x₀ y x. Acá está el trabajo.
3. Escribir |Rn(x)| ≤ M·|x − x₀|n+1/(n+1)!
4. Hacer la cuenta.
El paso 2 es el único que pide criterio. Como no se sabe dónde está c, hay que usar el peor caso del intervalo. Dos situaciones:
- Seno y coseno: todas sus derivadas están acotadas por 1, siempre. M = 1 y listo.
- Exponencial: es creciente, así que su máximo en el intervalo está en el extremo derecho.
Usar una cota más grande de la necesaria no está mal: da un resultado más flojo pero correcto. Usar una más chica sí está mal, porque entonces la desigualdad puede no valer.
Los dos tipos de ejercicio
Tipo A — dado el orden, acotar el error. Es aplicar el procedimiento de arriba tal cual.
Tipo B — dado el error tolerado, hallar el orden o el intervalo. Se plantea la cota < error pedido y se despeja. Si la incógnita es n, casi nunca se despeja analíticamente: se prueban valores hasta que la cota entre. Si la incógnita es el intervalo de x, sí se despeja.
El control que hay que hacer siempre
Cuando se puede calcular el valor real, la cota tiene que ser mayor que el error real. Si te da menor, hay un error de cuentas seguro. Y no tiene por qué dar parecida: una cota puede ser varias veces el error verdadero y seguir siendo correcta, porque se construyó pensando en el peor caso.
Qué pasa al aumentar el orden
Para las funciones que se ven en el curso, el resto tiende a 0 cuando n crece y la aproximación mejora. Pero mejora cerca del centro: lejos de x₀ el polinomio se despega igual, por más grados que le agregues. Graficar f junto a P₂, P₄ y P₆ muestra exactamente eso, y es el mejor modo de entender qué hace Taylor y qué no.
Eso conecta con la unidad 8: cuando el resto tiende a 0 en todo un intervalo, la sucesión de polinomios converge a la función, y esa es la serie de Taylor.
Estimar cos(10°) con el polinomio de Taylor de orden 4 en x₀ = 0 y acotar el error.
Primero paso a radianes: 10° = π/18 ≈ 0,1745.
La estimación, con P₄(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24:
La cota del error. Necesito la derivada de orden 5 del coseno, que es −sen(x). Como |−sen(c)| ≤ 1 para cualquier c, tomo M = 1:
Y se puede afinar. En el coseno el término de grado 5 es cero, así que P₄ y P₅ son el mismo polinomio. Entonces lo que calculamos también es la aproximación de orden 5, y vale usar su resto, que es más chico:
O sea que la estimación es correcta hasta la séptima cifra decimal. Y efectivamente: P₄(π/18) = 0,98480779 contra cos(10°) = 0,98480775, que difieren en 3,924 × 10⁻⁸ — apenas adentro de la cota de 3,926 × 10⁻⁸, como tiene que ser. Que queden tan pegadas dice que esa cota es casi exacta, no que el error se pase.
El control que no falla: una cota siempre tiene que ser más grande que el error real. Si te da más chica, no encontraste una aproximación mejor: te equivocaste en una cuenta. Es la forma más barata de detectar un error de potencias, que es el que más se comete acá — arrastrar mal un 10⁻³ cambia la respuesta por mil.
Con solo tres términos y sin calculadora científica se consiguen siete decimales exactos: esa es la potencia del método.
Estimar e^(0,1) con el polinomio de Taylor de orden 2 en x₀ = 0 y acotar el error con el resto de Lagrange. Determinar después qué orden hace falta para que el error sea menor que 10⁻⁶.
El polinomio de eˣ en 0 es el más fácil de todos, porque todas las derivadas de eˣ son eˣ y en 0 valen 1:
Con orden 2:
P₂(0,1) = 1 + 0,1 + 0,005 = 1,105
La cota del error, con el resto de Lagrange de orden 2:
La tercera derivada de eˣ es eˣ, y hay que acotarla en [0 ; 0,1]. Como la exponencial crece, su máximo está en 0,1:
Ese «< 3» es el truco del ejercicio. No se puede usar e^(0,1) para acotar el error de calcular e^(0,1): sería circular. Se usa una cota grosera pero honesta, y 3 es cómodo porque e < 3.
El error real, para comparar:
error = |1,1051709 − 1,105| = 0,00017 = 1,7 × 10⁻⁴
Menor que la cota ✓. La cota es unas tres veces más grande que el error, que es lo esperable cuando se acota con generosidad.
La segunda parte: qué orden hace falta para 10⁻⁶. Se escribe la cota general y se prueba con n creciente:
n = 3: 3/24 · 10⁻⁴ = 1,25 × 10⁻⁵ ✗
n = 4: 3/120 · 10⁻⁵ = 2,5 × 10⁻⁷ ✓
Alcanza con orden 4. Y fijate lo rápido que mejora: cada orden gana dos cifras, porque se multiplica por 0,1 y se divide por el factorial siguiente al mismo tiempo.
El polinomio que resuelve el pedido:
P₄(0,1) = 1,10517083…
Cómo se contesta este tipo de pregunta. No se «despeja» n de la desigualdad —con factoriales no se puede— sino que se prueba con n = 1, 2, 3… hasta que la cota entre. Eso es lo que espera el enunciado, y conviene mostrar la tablita completa.
Dónde se pierde el punto: acotar e^(ξ) por e⁰ = 1 «porque ξ está cerca de 0». La cota tiene que valer para todo ξ del intervalo, y en 0,1 la exponencial ya vale más que 1: hay que acotar por arriba, con el extremo derecho.
Dónde se cae la mayoría
- Usar la derivada de orden n en la cota. Va la de orden n+1.
- Olvidar el factorial (n+1)! del denominador.
- Evaluar la cota M en el centro en vez de tomar el máximo en todo el intervalo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Resto de Taylor y cotas de error →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Taylor y la cota del error25 puntos · resuelto paso a paso
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Aproximación polinomial