Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral
Primitivas e integral indefinida
Integrar es derivar al revés: buscar la función que, al derivarla, te da la que tenés. Y como la derivada de una constante es cero, siempre hay infinitas respuestas: por eso el +C.
La explicación
Primitiva: derivar al revés
F es primitiva de f si F′ = f. Y si F lo es, también lo es F + C para cualquier constante, porque la derivada de una constante es 0. Por eso la integral indefinida no es una función sino una familia:
Que ésas sean todas las primitivas no es obvio: se apoya en la consecuencia de Lagrange de que dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren en una constante. La constante no es un adorno.
La tabla, que es la de derivadas leída al revés
∫(1/x) dx = ln|x| + C
∫eˣ dx = eˣ + C ∫ax dx = ax/ln(a) + C
∫cos(x) dx = sen(x) + C ∫sen(x) dx = −cos(x) + C
∫1/(1+x²) dx = arctg(x) + C
∫1/√(1−x²) dx = arcsen(x) + C
Dos detalles que se cobran: el caso n = −1 queda afuera de la regla de la potencia (daría dividir por cero) y es el del logaritmo; y la primitiva del seno lleva signo menos, que es el error de signo más frecuente de toda la unidad.
El módulo en ln|x| tampoco es decorativo: 1/x está definida para x negativo, y sin el módulo la primitiva perdería la mitad del dominio.
Las propiedades, y las que no existen
∫(f·g) NO es (∫f)(∫g). Se ve enseguida: ∫x·x dx = x³/3, pero (x²/2)(x²/2) = x⁴/4.
Para productos están la sustitución y la integración por partes, que son técnicas, no reglas automáticas.
Antes de integrar, reescribí
Buena parte de las integrales que parecen difíciles son inmediatas después de acomodar la expresión:
- √x = x^(1/2), y ahí sale con la regla de la potencia.
- (x³ + 2x)/x = x² + 2, dividiendo término a término.
- (x + 1)² = x² + 2x + 1, desarrollando.
- sen(2x) = 2·sen(x)cos(x), o al revés, según convenga.
La primitiva particular
Cuando dan una condición del tipo F(a) = b, se calcula la primitiva general, se reemplaza y se despeja C. Queda una sola primitiva.
Un detalle fino que casi nadie escribe: si el dominio de f está partido en varios intervalos, la condición fija la constante sólo en el intervalo que contiene al punto. En los otros la constante queda libre.
El control, que acá es infalible
Derivá tu resultado. Tiene que dar el integrando. Es rápido, siempre se puede, y detecta cualquier error — un factor perdido, un signo, una constante mal puesta. En integración no hay excusa para entregar sin controlar.
Calcular ∫ (3x² − 4x + 5) dx y verificar el resultado.
Integro término a término usando la regla de la potencia:
∫(−4x) dx = −4·x²/2 = −2x²
∫5 dx = 5x
Verificación (siempre):
Coincide con el integrando, así que está bien. Este chequeo lleva diez segundos y detecta cualquier error de signo o de coeficiente.
La regla que se usó, y su única excepción
∫ x−1 dx = ln|x| + C
El n = −1 queda afuera por una razón visible en la fórmula: daría x⁰/0, que no existe. Ésa es toda la explicación de por qué la integral de 1/x es un logaritmo y no una potencia, y es de lo primero que se pregunta.
Por qué el + C no es un adorno
Las derivadas de x³ − 2x² + 5x, de x³ − 2x² + 5x + 7 y de x³ − 2x² + 5x − 1000 son la misma. La integral indefinida no devuelve una función: devuelve toda la familia de funciones que tienen ese integrando como derivada, y esa familia son curvas paralelas desplazadas verticalmente. Escribir el resultado sin C es dar una sola respuesta cuando había infinitas, y se corrige como error.
Qué se puede hacer término a término y qué no
Acá la integral se partió en tres porque la integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen afuera. Lo que no vale —y es la trampa más común— es hacer lo mismo con un producto o un cociente: ∫f·g no es (∫f)(∫g). Para convencerse alcanza con un caso: ∫x·x dx = x³/3, mientras que (∫x dx)(∫x dx) = x⁴/4. No dan lo mismo, y el control de derivar lo detecta al instante.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el +C.
- Aplicar xⁿ⁺¹/(n+1) con n = −1.
- Inventar una "regla del producto" para integrales. No existe.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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