Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral

Método de sustitución

Es la regla de la cadena leída al revés. Si adentro de la integral ves una función y también su derivada multiplicando, sustituís y el problema se derrumba.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

La idea

Es la regla de la cadena leída al revés. Si adentro de la integral aparece una función y también su derivada, se puede cambiar de variable y simplificar:

∫f(g(x))·g′(x) dx = ∫f(u) du, con u = g(x), du = g′(x)dx

Toda la técnica consiste en reconocer ese patrón: algo compuesto, y multiplicando, la derivada de lo de adentro.

Cómo elegir la u

Candidatos, en orden de prioridad:
1. lo que está adentro de una composición: el exponente de una e, el argumento de un seno, lo de adentro de una raíz o de un logaritmo;
2. lo que está en el denominador;
3. la parte cuya derivada aparece en el resto del integrando.

Control rápido: después de sustituir, no puede quedar ninguna x. Si queda, la elección fue mala o falta despejar algo.

Ajustar constantes

Si falta un factor constante, se compensa: para ∫e^(3x)dx con u = 3x sale du = 3dx, o sea dx = du/3, y el 1/3 sale afuera.

Constantes sí, variables no. Si falta una x, la sustitución no sirve como está y hay que buscar otra o despejar x en función de u.

Los patrones que más aparecen

∫u′/u dx = ln|u| + C
∫u′·uⁿ dx = uⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫u′·e^u dx = e^u + C

El primero es el más útil de los tres: cada vez que veas una fracción donde arriba está (casi) la derivada de abajo, es un logaritmo.

Las que terminan en arcotangente o arcoseno

Hay una familia que no parece de sustitución y lo es. La clave es llevar el denominador a la forma 1 + (algo)² o 1 − (algo)²:

Para ∫1/(x² + 4)dx: se saca el 4 como factor común del denominador,
x² + 4 = 4((x/2)² + 1),
y con u = x/2 queda (1/2)·arctg(x/2) + C.

La regla general: ∫1/(x² + a²)dx = (1/a)·arctg(x/a) + C. Y el contraste que conviene tener claro: ∫x/(x²+1)dx es un logaritmo (arriba está la derivada de abajo) mientras que ∫1/(x²+1)dx es un arcotangente. Dos integrales casi iguales a la vista, dos caminos completamente distintos, y lo que las separa es esa x de arriba.

En la integral definida

Al sustituir hay dos opciones, y conviene la segunda:

Volver a la variable original antes de evaluar.
Cambiar también los límites de integración: si u = g(x), los nuevos límites son g(a) y g(b), y ya no hace falta volver.

Olvidarse de cambiar los límites y evaluar en los viejos con la variable nueva es un error que da un número cualquiera sin avisar.

Ejemplo resuelto

Calcular ∫ 2x·cos(x²) dx.

Veo cos(algo) y además el 2x, que es exactamente la derivada de ese algo. Sustitución cantada:

u = x² → du = 2x dx

Reemplazo todo. El 2x dx se convierte en du, y el x² en u:

∫ 2x·cos(x²) dx = ∫ cos(u) du = sen(u) + C

Vuelvo a x:

= sen(x²) + C

Verifico: (sen(x²))′ = cos(x²)·2x ✓. Justo el integrando.

Si el enunciado hubiera sido ∫x·cos(x²)dx (sin el 2), la sustitución es la misma pero du = 2x dx obliga a escribir x dx = du/2, y la respuesta lleva un 1/2 adelante.

Cómo se reconoce que hay que sustituir

La señal es siempre la misma: aparece una función compuesta y, multiplicando, algo que se parece a la derivada de la función interna. La pregunta que hay que hacerse es «¿qué está adentro?», y después «¿está su derivada dando vueltas por acá?». Acá adentro estaba x² y su derivada, 2x, estaba justo afuera. Cuando eso pasa, la sustitución sale sola.

Que sobre una constante no es problema; que sobre una x, sí. Si falta o sobra un número, se compensa con un factor, como el 1/2 de recién. Pero si después de sustituir te queda una x suelta que no se puede escribir en términos de u, la sustitución elegida no sirve y hay que probar otra —o el ejercicio pide otro método. Por ejemplo ∫x²·cos(x²) dx no sale por sustitución: sobra una x que no tiene con qué emparejarse.

Por qué la verificación es obligatoria acá

En integración, derivar el resultado es un control completo: si la derivada devuelve el integrando exacto, la respuesta está bien, sin importar por qué camino se llegó. No hay otro tema de la materia donde el control sea tan barato y tan concluyente. Los dos errores que atrapa siempre son el factor constante olvidado —da el integrando multiplicado por 2 o por 1/2, y ahí se ve— y no haber vuelto a la variable original: una respuesta con u adentro está incompleta aunque la cuenta sea correcta.

Dónde se cae la mayoría

No volver a la variable original: dejar la respuesta en función de u.
Elegir u dejando x sueltas en la integral.
Perder o duplicar constantes al acomodar du.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Método de sustitución →

Ver todos los temas de Análisis I