Análisis Matemático I (66) · Unidad 7 — Cálculo integral
Método de sustitución
Es la regla de la cadena leída al revés. Si adentro de la integral ves una función y también su derivada multiplicando, sustituís y el problema se derrumba.
La explicación
La idea
Es la regla de la cadena leída al revés. Si adentro de la integral aparece una función y también su derivada, se puede cambiar de variable y simplificar:
Toda la técnica consiste en reconocer ese patrón: algo compuesto, y multiplicando, la derivada de lo de adentro.
Cómo elegir la u
1. lo que está adentro de una composición: el exponente de una e, el argumento de un seno, lo de adentro de una raíz o de un logaritmo;
2. lo que está en el denominador;
3. la parte cuya derivada aparece en el resto del integrando.
Control rápido: después de sustituir, no puede quedar ninguna x. Si queda, la elección fue mala o falta despejar algo.
Ajustar constantes
Si falta un factor constante, se compensa: para ∫e^(3x)dx con u = 3x sale du = 3dx, o sea dx = du/3, y el 1/3 sale afuera.
Constantes sí, variables no. Si falta una x, la sustitución no sirve como está y hay que buscar otra o despejar x en función de u.
Los patrones que más aparecen
∫u′·un dx = un+1/(n+1) + C
∫u′·eu dx = eu + C
El primero es el más útil de los tres: cada vez que veas una fracción donde arriba está (casi) la derivada de abajo, es un logaritmo.
Las que terminan en arcotangente o arcoseno
Hay una familia que no parece de sustitución y lo es. La clave es llevar el denominador a la forma 1 + (algo)² o 1 − (algo)²:
x² + 4 = 4((x/2)² + 1),
y con u = x/2 queda (1/2)·arctg(x/2) + C.
La regla general: ∫1/(x² + a²)dx = (1/a)·arctg(x/a) + C. Y el contraste que conviene tener claro: ∫x/(x²+1)dx es un logaritmo (arriba está la derivada de abajo) mientras que ∫1/(x²+1)dx es un arcotangente. Dos integrales casi iguales a la vista, dos caminos completamente distintos, y lo que las separa es esa x de arriba.
En la integral definida
Al sustituir hay dos opciones, y conviene la segunda:
- Volver a la variable original antes de evaluar.
- Cambiar también los límites de integración: si u = g(x), los nuevos límites son g(a) y g(b), y ya no hace falta volver.
Olvidarse de cambiar los límites y evaluar en los viejos con la variable nueva es un error que da un número cualquiera sin avisar.
Calcular ∫ 2x·cos(x²) dx.
Veo cos(algo) y además el 2x, que es exactamente la derivada de ese algo. Sustitución cantada:
Reemplazo todo. El 2x dx se convierte en du, y el x² en u:
Vuelvo a x:
Verifico: (sen(x²))′ = cos(x²)·2x ✓. Justo el integrando.
Si el enunciado hubiera sido ∫x·cos(x²)dx (sin el 2), la sustitución es la misma pero du = 2x dx obliga a escribir x dx = du/2, y la respuesta lleva un 1/2 adelante.
Cómo se reconoce que hay que sustituir
La señal es siempre la misma: aparece una función compuesta y, multiplicando, algo que se parece a la derivada de la función interna. La pregunta que hay que hacerse es «¿qué está adentro?», y después «¿está su derivada dando vueltas por acá?». Acá adentro estaba x² y su derivada, 2x, estaba justo afuera. Cuando eso pasa, la sustitución sale sola.
Por qué la verificación es obligatoria acá
En integración, derivar el resultado es un control completo: si la derivada devuelve el integrando exacto, la respuesta está bien, sin importar por qué camino se llegó. No hay otro tema de la materia donde el control sea tan barato y tan concluyente. Los dos errores que atrapa siempre son el factor constante olvidado —da el integrando multiplicado por 2 o por 1/2, y ahí se ve— y no haber vuelto a la variable original: una respuesta con u adentro está incompleta aunque la cuenta sea correcta.
Calcular ∫ x/√(x² + 9) dx y ∫ (ln x)²/x dx, indicando en cada caso qué sustitución se usa y por qué.
Cómo se reconoce que va por sustitución: en el integrando hay una función y, multiplicando, algo muy parecido a su derivada. Esa pareja es la señal.
Primera integral. Adentro de la raíz está x² + 9, y afuera hay una x. La derivada de x² + 9 es 2x: la x que sobra es «media derivada».
du = 2x·dx → x·dx = du/2
Se reemplaza todo, sin que quede ninguna x:
Y esa ya es inmediata:
Se vuelve a la variable original. Este paso no es opcional: la respuesta tiene que estar en x.
Control derivando: (√(x² + 9))′ = (2x)/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9) ✓.
Segunda integral. Hay un ln(x) elevado al cuadrado y, dividiendo, una x. La derivada de ln x es 1/x: otra vez, la función y su derivada juntas.
du = dx/x
El «dx/x» está entero en el integrando, así que la sustitución es limpia:
Control derivando, con la cadena:
El criterio para elegir u, que sirve para todas: u es lo que está «adentro» —dentro de una raíz, dentro de un exponente, dentro de un logaritmo, elevado a una potencia— y lo de afuera tiene que poder escribirse como du salvo una constante. Si al reemplazar te queda alguna x suelta, la elección fue mala.
Una trampa parecida, para distinguir: ∫ x²/√(x² + 9) dx no sale por esta sustitución, porque x² no es la derivada de x² + 9 ni un múltiplo de ella. Esa necesita sustitución trigonométrica, que es otro tema. La diferencia es de una sola potencia.
Dónde se pierde el punto: dejar la respuesta en u. Y olvidar el 1/2 de la primera: du = 2x dx, así que x dx no es du, es du/2, y ese factor sobrevive hasta el final.
Dónde se cae la mayoría
- No volver a la variable original: dejar la respuesta en función de u.
- Elegir u dejando x sueltas en la integral.
- Perder o duplicar constantes al acomodar du.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Método de sustitución →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — Sustitución, partes y el Teorema Fundamental25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Cálculo integral