Análisis Matemático I (66) · Unidad 7 — Cálculo integral
Integración por partes
Es la regla del producto al revés. Sirve cuando el integrando es un producto de dos cosas de naturaleza distinta: un polinomio con una exponencial, con un seno, o con un logaritmo.
La explicación
La fórmula
Es la regla del producto leída al revés. Sirve cuando el integrando es un producto de cosas de naturaleza distinta — un polinomio por una exponencial, un polinomio por un seno, un logaritmo por lo que sea.
El signo menos del medio es lo que más se olvida, y cambia todo el resultado.
Cómo elegir u
La elección decide si el método sirve o empeora las cosas. La regla práctica, en orden de prioridad para u:
Con las iniciales se arma la palabra LIATE, que es como la vas a ver nombrada. (Algunos libros la dan vuelta y escriben ILATE; para lo que se toma acá las dos llevan a la misma elección.)
Lo que está más arriba se elige como u; el resto es dv. La lógica de fondo: u conviene que sea algo que se simplifique al derivar (un polinomio baja de grado, un logaritmo se vuelve racional) y dv algo que se pueda integrar fácil.
El truco del 1
Cuando hay un solo factor y no se sabe integrarlo directo, se lo multiplica por 1:
Es la forma estándar de atacar ∫ln(x)dx y ∫arctg(x)dx, y no se le ocurre a nadie la primera vez.
Aplicarla varias veces
Con un polinomio de grado n multiplicando una exponencial o un seno, hay que aplicarla n veces, hasta que el polinomio se agote. Cada vuelta le baja un grado.
El caso cíclico
En integrales como ∫eˣ·sen(x)dx, después de dos aplicaciones vuelve a aparecer la integral original. Lejos de ser un callejón sin salida, es la solución:
Se despeja: 2I = expresión, o sea I = expresión/2.
Y ahí se agrega el + C, que en este método es fácil de olvidar porque uno viene despejando como en una ecuación.
Para que funcione hay que ser consistente: en las dos aplicaciones la exponencial tiene que jugar el mismo papel. Si en la primera vuelta tomás u = eˣ y en la segunda u = sen(x), volvés al punto de partida y no se despeja nada.
Combinar con sustitución
Muchas integrales piden las dos técnicas: primero una sustitución para simplificar, después partes. Por ejemplo ∫x·e^(x²)dx es sustitución pura (no hace falta partes), pero ∫x³·e^(x²)dx sale sustituyendo u = x² y después integrando por partes. Reconocer cuál va primero es cuestión de práctica.
Calcular ∫ x·eˣ dx.
Es un producto de un polinomio por una exponencial. Por LIATE, u es el polinomio:
du = dx v = eˣ
Aplico la fórmula:
Y esa integral que quedó es directa:
Verifico con la regla del producto:
Fijate qué pasó: elegir u = x hizo que du = dx simplificara todo. Si hubiéramos elegido al revés (u = eˣ), la nueva integral tendría x²/2 y sería peor.
Calcular ∫ x²·ln(x) dx y ∫ eˣ·sen(x) dx. En la segunda, explicar qué hacer cuando la integral original reaparece.
Las dos van por partes, con la fórmula:
Primera integral: quién es u y quién es dv. La regla práctica es elegir como u lo que se simplifica al derivar. El ln(x) al derivarse se convierte en 1/x, que es más simple; x² al derivarse sigue siendo una potencia.
dv = x² dx → v = x³/3
La integral que queda ya no tiene logaritmo, que es lo que buscábamos:
Control derivando, con la regla del producto en el primer término:
[−x³/9]′ = −x²/3
suma: x²·ln x ✓
Si hubieras elegido al revés (u = x², dv = ln x dx) habrías necesitado primero la primitiva de ln x, que también sale por partes. Es el camino largo hacia el mismo lugar.
Segunda integral: la que da vueltas. Acá ninguno de los dos factores se simplifica al derivar, así que la elección es libre. Tomemos u = sen x:
dv = eˣ dx → v = eˣ
Se vuelve a aplicar partes a la nueva, y acá hay una regla que no se puede romper: mantener el mismo criterio. Si la primera vez la trigonométrica fue u, ahora también.
Se reemplaza en la de arriba:
I = eˣ·sen x − eˣ·cos x − I
Y acá está la idea del ejercicio: I aparece de los dos lados, así que se despeja como una incógnita.
I = eˣ·(sen x − cos x)/2 + C
Control derivando:
= eˣ·(2·sen x)/2 = eˣ·sen x ✓
Si en el segundo paso cambiás el criterio (tomando eˣ como u) todo se deshace y volvés a I = I, que es cierto pero inútil. Es el error más frecuente de las integrales cíclicas.
Dónde se pierde el punto: olvidar el signo al distribuir el corchete, y —sobre todo— no sumar la constante al final. Después de despejar I, la constante vuelve a aparecer: la igualdad 2I = … es entre primitivas, y cada una lleva la suya.
Dónde se cae la mayoría
- Elegir mal u y terminar con una integral más difícil que la original. Si pasa, probá al revés.
- Perder el signo menos de la fórmula.
- En ∫ln(x)dx, no darse cuenta de que se puede usar partes con dv = dx.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Integración por partes →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — Sustitución, partes y el Teorema Fundamental25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Cálculo integral