Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Una ecuación diferencial no busca un número: busca una función. Y las de variables separables se resuelven acomodando cada variable de un lado e integrando los dos lados.
La explicación
Qué es una ecuación diferencial
Una ecuación donde la incógnita es una función, y aparece junto con sus derivadas. Resolverla es encontrar todas las funciones que la satisfacen.
La solución general tiene una constante libre, así que es una familia de funciones; con una condición inicial del tipo y(x₀) = y₀ se fija la constante y queda una sola: la solución particular.
Variables separables
Son las que se pueden escribir con cada variable de un lado:
2. Separar: todo lo de y con dy de un lado, todo lo de x con dx del otro.
3. Integrar los dos lados. Alcanza con una sola constante, del lado de la x.
4. Despejar y.
5. Usar la condición inicial para hallar la constante.
Un detalle del paso 4 que aparece siempre: al despejar de ln|y| = algo + C queda y = ±e^C·e^(algo), y esa combinación se renombra como una constante K que puede ser cualquier real, positivo o negativo.
Las soluciones que se pierden al dividir
Al separar se divide por h(y), y eso excluye los valores donde h se anula. Esas constantes suelen ser soluciones legítimas: en y′ = 2xy, la función y ≡ 0 cumple la ecuación y se pierde al dividir por y.
Casi siempre quedan recuperadas al permitir que K valga 0, pero conviene decirlo.
Los modelos que se toman
Es la ecuación diferencial del curso, y dice: la velocidad de cambio es proporcional a lo que hay. Con k > 0 es crecimiento exponencial (poblaciones, interés compuesto); con k < 0, decaimiento (radiactividad, enfriamiento, medicamento que se elimina).
Es también la explicación de por qué la exponencial aparece en todos lados: es la única función que es proporcional a su propia derivada.
La otra que aparece es la ley de enfriamiento de Newton, T′ = k(T − Tambiente): la velocidad a la que se enfría algo es proporcional a la diferencia con el ambiente. Se separa igual, y la solución tiende asintóticamente a la temperatura ambiente, que es lo que uno esperaría.
El control, que acá es doble
2. Evaluá en el punto inicial y verificá que da el valor pedido.
Las dos cosas, siempre. Es frecuente que la función cumpla la ecuación pero con la constante mal despejada.
Resolver y′ = 2y con la condición y(0) = 3.
1. Separo variables. Escribo y′ como dy/dx:
2. Integro los dos lados:
3. Despejo y aplicando exponencial:
Llamo A = ±e^C (una constante nueva, que puede ser cualquier real):
4. Uso la condición inicial y(0) = 3:
Verifico: y′ = 6e^(2x) = 2·(3e^(2x)) = 2y ✓, y además y(0) = 3 ✓.
La solución que se pierde al dividir
En el paso 1 se pasó dividiendo por y, y eso sólo es legítimo si y ≠ 0. La función constante y = 0 también cumple y′ = 2y —las dos partes dan cero— y no aparece en el camino que seguimos. Acá no molesta, porque la condición inicial y(0) = 3 la descarta, pero en los ejercicios donde la condición inicial es 0 la respuesta es justamente ésa. La costumbre que conviene tomar: cada vez que dividas por algo, anotá aparte el caso en que ese algo vale cero y revisalo al final.
Qué significa el resultado
y′ = 2y dice «esta magnitud crece a un ritmo proporcional a lo que ya vale», y eso es exactamente lo que define al crecimiento exponencial: poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva con la constante negativa. La solución general y = A·e^(2x) dice que no hay otra forma posible de crecer así. La constante A queda fijada por el dato inicial y es el valor en x = 0, siempre, porque e⁰ = 1.
Dónde se cae la mayoría
- Poner una constante distinta en cada lado. Alcanza con una sola, del lado que quieras.
- Olvidar el módulo al integrar 1/y.
- Usar la condición inicial antes de integrar.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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