Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral
Integral definida y Regla de Barrow
La integral definida nace como un área calculada con infinitos rectangulitos. La Regla de Barrow dice que ese límite monstruoso se calcula evaluando una primitiva en dos puntos.
La explicación
Dos objetos distintos con el mismo nombre
La integral indefinida es una familia de funciones. La definida es un número:
Se define como límite de sumas de Riemann: se parte [a, b] en n pedacitos, se arma un rectángulo sobre cada uno, se suman las áreas y se hace n → ∞. Es la formalización de "área bajo la curva", y conviene tenerla presente aunque nunca se calcule así.
La Regla de Barrow
Es lo que hace calculable el asunto: en vez de sumar infinitos rectángulos, se busca una primitiva y se restan dos valores. Que un problema de áreas se resuelva derivando al revés es el resultado más importante del curso.
La constante no hace falta, porque se cancela al restar. Y "cualquier primitiva" significa cualquiera: el resultado no depende de cuál elijas.
La hipótesis que hay que mirar
Si hay una asíntota adentro del intervalo, la regla no se aplica y usarla igual da resultados absurdos: ∫ de −1 a 1 de 1/x² daría −2, un número negativo para una función que es siempre positiva.
El absurdo es la señal: controlá siempre el signo.
Esos casos son integrales impropias y se tratan aparte, con límites.
Propiedades
∫ab f = ∫ac f + ∫cb f
si f ≤ g en [a,b], entonces ∫f ≤ ∫g
La de partir el intervalo es la que se usa para funciones definidas por partes y para áreas donde la curva cruza el eje.
Y una que ahorra cuentas: si f es impar, su integral en un intervalo simétrico [−a, a] vale 0; si es par, vale el doble de la integral de 0 a a. Mirar la paridad antes de integrar resuelve varios ejercicios en una línea.
Integral y área no son lo mismo
La integral cuenta como negativo lo que está debajo del eje x. Así que:
- Si piden la integral, se calcula directo y el signo queda.
- Si piden el área, hay que partir el intervalo en los ceros de f y sumar los valores absolutos de cada pedazo.
Es la distinción que más se pierde. Una integral que da 0 puede corresponder a una función que encerró área de los dos lados en cantidades iguales.
Calcular ∫₀² x² dx.
1. Busco una primitiva de x²:
(Podría haber elegido x³/3 + 7; da lo mismo, la constante se cancela en la resta.)
2. Aplico Barrow:
Ese número, 8/3 ≈ 2.67, es el área exacta bajo la parábola entre 0 y 2. Si lo hiciéramos por sumas de Riemann con 1000 rectángulos daríamos vueltas media hora para obtener 2.666…, y acá salió en dos renglones.
3. El control geométrico, que cuesta diez segundos
Antes de dar por buena cualquier integral definida conviene encerrarla entre dos números fáciles. En [0, 2] la función x² va de 0 a 4:
rectángulo por arriba (altura 4): 4 · 2 = 8
entonces 0 < ∫₀² x² dx < 8
Y se puede apretar más. El trapecio que une (0,0) con (2,4) da (0 + 4)/2 · 2 = 4, y como la parábola es convexa queda por debajo de esa cuerda: 4 es una cota superior. El rectángulo del punto medio, de altura 1² = 1, da 2, y por la misma convexidad es una cota inferior. Entonces 2 < 8/3 < 4, y 8/3 = 2,67 cae justo en el medio ✓.
El orden de los límites y el signo
Barrow es F(b) − F(a), siempre arriba menos abajo. Invertir el orden cambia el signo de la respuesta: ∫₂⁰ x² dx = −8/3. Y un resultado negativo no significa necesariamente que esté mal — si la función es negativa en el intervalo, la integral da negativa aunque los límites estén bien puestos. Lo que sí es un error es dar un área negativa: si lo que se pide es área y no integral, hay que partir el intervalo por los ceros de la función y tomar valor absoluto en cada tramo. Acá no hizo falta porque x² ≥ 0 en todo [0, 2].
Dónde se cae la mayoría
- Poner +C en una integral definida.
- Confundir "integral" con "área" cuando la función cambia de signo.
- Al sustituir en una definida, olvidar cambiar también los límites de integración (o volver a x antes de evaluar).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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