Análisis Matemático I (66) · Unidad 7 — Cálculo integral
Teorema Fundamental del Cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas. El teorema lo dice con precisión: si integrás una función desde un punto fijo y después derivás, volvés a la función original.
La explicación
La función área
Fijando el extremo izquierdo y dejando el derecho libre, la integral define una función nueva:
Fijate en la notación: adentro la variable es t, porque la x ya está usada como límite. Mezclarlas es el primer error del tema.
El Teorema Fundamental
Dicho en palabras: derivar deshace integrar. Es lo que une las dos mitades del cálculo, que nacieron como problemas sin relación aparente — tangentes por un lado, áreas por el otro.
La consecuencia práctica es enorme: toda función continua tiene primitiva, aunque no se pueda escribir con las funciones de siempre. La primitiva de e^(−t²) existe y es perfectamente derivable; lo que no existe es una fórmula elemental para ella.
Cuando el límite superior no es x
Si arriba hay una función de x, entra la regla de la cadena:
Olvidar el g′(x) es el error central del tema. Y hay dos variantes más:
- La x abajo: se da vuelta el intervalo y aparece un signo menos.
- Funciones en los dos límites: se parte en dos usando un punto intermedio, y queda f(g(x))·g′(x) − f(h(x))·h′(x).
Por qué importa si la primitiva no se puede escribir
Ahí está la gracia del teorema. Para F(x) = ∫ de 0 a x² de e^(−t²)dt no hay fórmula elemental, y sin embargo F′(x) = e^(−x⁴)·2x sale en una línea. Se puede derivar, hallar extremos y estudiar la función sin conocerla.
Los ejercicios que dan una F definida así y piden extremos o crecimiento apuntan exactamente a eso: hay que resistir la tentación de calcular la integral, porque no se puede y no hace falta.
Lo que se lee de F sin calcularla
- F(a) = 0 siempre, porque el intervalo es de largo cero.
- Donde f > 0, F crece; donde f < 0, F decrece. Es F′ = f.
- Los extremos de F están donde f cambia de signo, no donde f se anula sin cambiar.
- La concavidad de F la da el crecimiento de f, porque F″ = f′.
Un ejercicio típico da el gráfico de f y pide describir F. Todo sale de esas cuatro líneas, sin una sola cuenta.
Calcular F ′(x) para F(x) = ∫₀^(x²) sen(t) dt.
El límite superior no es x sino x², así que hace falta la regla de la cadena. Llamo g(x) = x².
Fijate lo que no hicimos: nunca calculamos la integral. No hacía falta. El teorema conecta directamente la derivada de la función área con el integrando evaluado en el límite.
Control: si el límite hubiera sido x a secas, la respuesta sería simplemente sen(x). El factor 2x aparece únicamente por la composición.
El control por el camino largo
Acá la integral sí se puede calcular, así que conviene hacerlo una vez para ver que el teorema no es magia:
F ′(x) = −(−sen(x²))·2x = 2x·sen(x²) ✓
Sale lo mismo, pero por un camino mucho más largo — y que en la mayoría de los ejercicios ni siquiera está disponible, porque el integrando no tiene primitiva elemental. Ése es el punto del teorema: la derivada de la función área se obtiene sin integrar.
Y un control de orden de magnitud: en x = 1 la fórmula da 2·sen(1) ≈ 1,6829. Calculando F en 1,000001 y en 0,999999 y armando el cociente incremental da 1,6829 también. Cuando una derivada sale de un teorema y no de una cuenta, este chequeo numérico es la forma más rápida de confirmar que se aplicó bien.
Sea F(x) = ∫ desde x hasta x² de e^(t²) dt. Hallar F ′(x) y explicar por qué no se puede calcular F(x) explícitamente.
Este ejercicio es puro teorema fundamental, y tiene dos dificultades encimadas: los dos límites son variables, y el de arriba no es x sino x².
Primero hay que partir la integral en dos, eligiendo un punto cualquiera del dominio —digamos 0— para dejar en cada pedazo un solo límite variable:
Ese paso vale por la aditividad de la integral respecto del intervalo, y el 0 se eligió solo porque es cómodo: cualquier constante sirve, y al derivar desaparece.
Segundo pedazo, que es el TFC directo:
Primer pedazo, que necesita la regla de la cadena. Si G(u) = ∫₀^u e^(t²) dt, lo que hay que derivar es G(x²):
Ese (x²)² = x⁴ es donde se cae medio curso: hay que reemplazar x² en la fórmula del integrando, y el integrando es e^(t²), así que queda e elevado a (x²)², no a x².
Se juntan los dos:
Control en un punto: F ′(1) = 2·e − e = e. Y tiene sentido, porque en x = 1 los dos límites de la integral coinciden (1 y 1² son lo mismo), así que F(1) = 0 y F está justo empezando a crecer.
La regla general, que conviene tener escrita:
Arriba menos abajo, cada uno evaluado en su límite y multiplicado por la derivada de ese límite.
Ahora la segunda pregunta: por qué no se puede calcular F explícitamente. Porque e^(t²) no tiene primitiva elemental: no existe ninguna combinación finita de polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas cuya derivada sea e^(t²). No es que no se le encuentre: está demostrado que no existe.
Y ese es exactamente el valor del teorema fundamental. Permite derivar F sin conocerla, estudiar su crecimiento, sus extremos y su concavidad, todo sin tener nunca una fórmula. La función existe, está perfectamente definida por la integral, y se la puede analizar completa.
Un dato para dimensionarlo: esa misma integral, con e^(−t²), es la que define la campana de Gauss de la estadística. Sus valores están tabulados numéricamente justamente porque no hay fórmula.
Dónde se pierde el punto: derivar solo el límite de arriba y olvidar restar el de abajo, o poner e^(x²) donde va e^(x⁴). Los dos errores se detectan controlando en x = 1, donde el resultado tiene que dar e.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el factor g′(x) cuando el límite superior es una función.
- Olvidar el signo menos cuando la variable está en el límite inferior.
- Confundir la variable de integración con la del límite: adentro va t, no x.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema Fundamental del Cálculo →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — Sustitución, partes y el Teorema Fundamental25 puntos · resuelto paso a paso
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