Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral
Teorema Fundamental del Cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas. El teorema lo dice con precisión: si integrás una función desde un punto fijo y después derivás, volvés a la función original.
La explicación
La función área
Fijando el extremo izquierdo y dejando el derecho libre, la integral define una función nueva:
Fijate en la notación: adentro la variable es t, porque la x ya está usada como límite. Mezclarlas es el primer error del tema.
El Teorema Fundamental
Dicho en palabras: derivar deshace integrar. Es lo que une las dos mitades del cálculo, que nacieron como problemas sin relación aparente — tangentes por un lado, áreas por el otro.
La consecuencia práctica es enorme: toda función continua tiene primitiva, aunque no se pueda escribir con las funciones de siempre. La primitiva de e^(−t²) existe y es perfectamente derivable; lo que no existe es una fórmula elemental para ella.
Cuando el límite superior no es x
Si arriba hay una función de x, entra la regla de la cadena:
Olvidar el g′(x) es el error central del tema. Y hay dos variantes más:
- La x abajo: se da vuelta el intervalo y aparece un signo menos.
- Funciones en los dos límites: se parte en dos usando un punto intermedio, y queda f(g(x))·g′(x) − f(h(x))·h′(x).
Por qué importa si la primitiva no se puede escribir
Ahí está la gracia del teorema. Para F(x) = ∫ de 0 a x² de e^(−t²)dt no hay fórmula elemental, y sin embargo F′(x) = e^(−x⁴)·2x sale en una línea. Se puede derivar, hallar extremos y estudiar la función sin conocerla.
Los ejercicios que dan una F definida así y piden extremos o crecimiento apuntan exactamente a eso: hay que resistir la tentación de calcular la integral, porque no se puede y no hace falta.
Lo que se lee de F sin calcularla
- F(a) = 0 siempre, porque el intervalo es de largo cero.
- Donde f > 0, F crece; donde f < 0, F decrece. Es F′ = f.
- Los extremos de F están donde f cambia de signo, no donde f se anula sin cambiar.
- La concavidad de F la da el crecimiento de f, porque F″ = f′.
Un ejercicio típico da el gráfico de f y pide describir F. Todo sale de esas cuatro líneas, sin una sola cuenta.
Calcular F ′(x) para F(x) = ∫₀^(x²) sen(t) dt.
El límite superior no es x sino x², así que hace falta la regla de la cadena. Llamo g(x) = x².
Fijate lo que no hicimos: nunca calculamos la integral. No hacía falta. El teorema conecta directamente la derivada de la función área con el integrando evaluado en el límite.
Control: si el límite hubiera sido x a secas, la respuesta sería simplemente sen(x). El factor 2x aparece únicamente por la composición.
El control por el camino largo
Acá la integral sí se puede calcular, así que conviene hacerlo una vez para ver que el teorema no es magia:
F ′(x) = −(−sen(x²))·2x = 2x·sen(x²) ✓
Sale lo mismo, pero por un camino mucho más largo — y que en la mayoría de los ejercicios ni siquiera está disponible, porque el integrando no tiene primitiva elemental. Ése es el punto del teorema: la derivada de la función área se obtiene sin integrar.
Y un control de orden de magnitud: en x = 1 la fórmula da 2·sen(1) ≈ 1,6829. Calculando F en 1,000001 y en 0,999999 y armando el cociente incremental da 1,6829 también. Cuando una derivada sale de un teorema y no de una cuenta, este chequeo numérico es la forma más rápida de confirmar que se aplicó bien.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el factor g′(x) cuando el límite superior es una función.
- Olvidar el signo menos cuando la variable está en el límite inferior.
- Confundir la variable de integración con la del límite: adentro va t, no x.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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