Análisis Matemático I · Unidad 7 — Cálculo integral

Áreas, volúmenes e integrales impropias

La integral definida sirve para mucho más que áreas: volúmenes de revolución, longitudes de curva, y hasta regiones infinitas que sorprendentemente tienen área finita.

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La explicación

Área entre dos curvas

A = ∫_a^b (la de arriba − la de abajo) dx

1. Hallar los puntos de intersección, igualando las dos funciones. Suelen ser los límites de integración.
2. Decidir cuál está arriba en cada tramo, con un punto de prueba.
3. Si se cruzan adentro del intervalo, partir en esos puntos y hacer una integral por tramo.
4. Sumar.

El paso 2 no es opcional: restarlas al revés da el área con signo cambiado. Y si el resultado te sale negativo, ése es exactamente el error: el área es una cantidad positiva.

A veces conviene integrar respecto de y en vez de x: cuando las curvas están dadas como x en función de y, o cuando integrando en x habría que partir en tres tramos y en y alcanza con uno.

Volúmenes de revolución

Girando una región alrededor de un eje se obtiene un sólido. Cortándolo perpendicular al eje, cada rebanada es un disco:

V = π∫_a^b [f(x)]² dx (alrededor del eje x)

El cuadrado viene del área del círculo, πr², con r = f(x). Los dos errores del tema son olvidar el cuadrado y olvidar el π.

Si la región está entre dos curvas, el sólido tiene un agujero y se restan los discos:

V = π∫ ([f(x)]² − [g(x)]²) dx

Ojo: se restan los cuadrados, no se eleva al cuadrado la resta. (f − g)² no es f² − g².

Para girar alrededor del eje y con la función dada en x, o se despeja x en función de y, o se usa el método de las capas cilíndricas.

El control que conviene hacer

Comparar con algo conocido. Si el sólido está adentro de un cilindro de radio R y altura h, su volumen tiene que ser menor que πR²h. Un área encerrada en un rectángulo tiene que ser menor que el rectángulo. Ese tipo de comparación detecta un factor perdido en diez segundos.

Integrales impropias

Son las que rompen alguna hipótesis de Barrow, y se resuelven con un límite. Hay dos clases:

intervalo infinito: ∫_a^∞ f = lím_b→∞ ∫_a^b f
función no acotada: ∫_a^b f = lím_t→a⁺ ∫_t^b f

Si el límite da un número, la integral converge; si da infinito o no existe, diverge.

El resultado de referencia, que conviene tener memorizado:
∫₁^∞ 1/x^p dx converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.
∫₀¹ 1/x^p dx converge si p < 1 y diverge si p ≥ 1.
Fijate que son al revés: cerca del infinito hay que decaer rápido, cerca del cero hay que explotar despacio. El caso p = 1 diverge en los dos.

Y el error del tema: si la función se va a infinito en un punto interior, hay que partir la integral ahí y tratar los dos pedazos por separado. Aplicar Barrow de largo es lo que produce el famoso resultado negativo para una función positiva.

Ejemplo resuelto

Hallar el área encerrada entre y = x e y = x².

1. Busco las intersecciones igualando:

x = x² → x² − x = 0 → x(x−1) = 0 → x = 0, x = 1

2. Decido cuál está arriba. Pruebo con un punto intermedio, x = 0.5:

y = x da 0.5 y = x² da 0.25

La recta está arriba en todo el intervalo (no se cruzan en el medio, así que no hay que partir).

3. Integro la diferencia:

A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6

El resultado tiene que dar positivo: si te da negativo, invertiste el orden de las funciones.

El control por partes, que no necesita la integral

El área entre las dos curvas se puede reconstruir con dos regiones que se conocen por separado. El triángulo bajo y = x entre 0 y 1 tiene área 1/2 · 1 · 1 = 1/2. El área bajo la parábola en el mismo intervalo es ∫₀¹x² dx = 1/3. Y la región que buscamos es la diferencia: 1/2 − 1/3 = 1/6 ✓. Que dos caminos independientes coincidan es la mejor verificación disponible.

Cuándo hay que partir el intervalo

El paso 2 no es un trámite. Acá alcanzó con probar un punto porque las curvas solo se cortan en los extremos, pero si se cruzaran en el medio, cambia cuál está arriba y una sola integral daría mal: los dos pedazos se restarían en vez de sumarse. La regla es partir el intervalo en cada intersección interior e integrar cada tramo con el orden que corresponda —o, lo que es lo mismo, integrar el valor absoluto de la diferencia.

Un ejemplo de bolsillo: entre y = x³ e y = x las curvas se cortan en −1, 0 y 1. En (0, 1) la recta está arriba y en (−1, 0) está abajo. Integrando de −1 a 1 de un tirón da 0, que es la respuesta correcta a «cuánto vale la integral» y la respuesta equivocada a «cuánto vale el área» — que es 1/4 + 1/4 = 1/2. Área e integral no son la misma pregunta, y el enunciado dice cuál de las dos se está pidiendo.

Dónde se cae la mayoría

En áreas entre curvas, no partir la integral cuando las curvas se cruzan.
Olvidar elevar al cuadrado en la fórmula del volumen.
Tratar una integral impropia como si fuera común, sin plantear el límite.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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