Análisis Matemático I (66) · Unidad 8 — Sucesiones y series
Sucesiones y su límite
Una sucesión es una lista infinita numerada. La única pregunta que importa es a dónde va cuando n crece, y para contestarla sirve todo lo que ya sabés de límites en el infinito.
La explicación
Qué es una sucesión
Una función definida sólo sobre los naturales. En vez de f(n) se escribe an, y se la puede dar de tres maneras:
- por una fórmula: an = 1/n;
- por recurrencia: a₁ = 1 y an+1 = an + 3;
- por descripción: el n-ésimo número primo.
Como es una función, casi todo lo de límites en el infinito se traslada tal cual. La diferencia práctica es que sólo importa qué pasa cuando n → +∞: no hay límites laterales ni límites en un punto.
Límite
Significa que los términos se acercan a L tanto como uno quiera a partir de un n suficientemente grande. Si el límite existe y es finito, la sucesión converge; si no, diverge — sea porque se va a infinito o porque oscila, como (−1)ⁿ.
Los primeros términos no importan. Cambiar los primeros mil no cambia el límite: la convergencia es una propiedad del final de la sucesión, no del principio.
Cómo se calculan
Las mismas técnicas que para funciones:
- Cociente de polinomios en n: dividir por la mayor potencia.
- Con raíces: multiplicar por el conjugado.
- Forma 1∞: el límite de e.
Y una herramienta propia: si f es una función con límx→∞ f(x) = L, entonces la sucesión an = f(n) tiende al mismo L. Eso habilita usar L’Hôpital, que sobre los naturales no tendría sentido porque no se puede derivar una sucesión.
Órdenes de crecimiento
Para decidir quién gana en un cociente, de más lento a más rápido:
Los dos últimos son nuevos respecto de las funciones, y son los que aparecen en los criterios de series. Saber de memoria que el factorial le gana a cualquier exponencial resuelve varios límites de un vistazo.
Monótonas y acotadas
- Creciente si cada término es mayor o igual que el anterior; decreciente al revés. Se verifica mirando el signo de an+1 − an, o el cociente an+1/an contra 1 si son positivos.
- Acotada si existe R con |an| < R para todo n.
Es un teorema de existencia: dice que el límite hay, no cuánto vale. Sirve para las sucesiones definidas por recurrencia, donde no hay fórmula para calcularlo.
Y dos consecuencias que se usan: toda sucesión convergente es acotada (así que una no acotada diverge seguro), pero acotada no implica convergente — (−1)ⁿ es el contraejemplo.
Estudiar la convergencia de aₙ = (3n² + 2n)/(n² + 5).
Es un cociente de polinomios en n, con el mismo grado arriba y abajo. Igual que con límites en +∞, divido todo por n²:
Cuando n → ∞, los términos 2/n y 5/n² se van a 0:
La sucesión converge a 3. Vale el mismo atajo de la unidad 2: mismo grado → cociente de coeficientes principales.
Como control, calculo algunos términos: a₁ = 5/6 ≈ 0,83, a₁₀ = 320/105 ≈ 3,05, a₁₀₀ = 30200/10005 ≈ 3,018. El primero todavía está lejos y por debajo; a partir de a₈ se acerca a 3 desde arriba. ✓
Qué significa exactamente «converge a 3»
No es que la sucesión «llegue» a 3: ningún término vale 3. Los siete primeros quedan por debajo (a₇ ≈ 2,98) y a partir de a₈ ≈ 3,014 todos quedan un poquito por arriba, acercándose a 3 desde arriba. Lo que dice la definición es que por más chico que elijas un margen, a partir de cierto término todos caen adentro. Con margen 0,02, el término 100 ya cumple: 3,0185 − 3 = 0,0185. Con margen 0,002 hay que irse más lejos, hasta n = 1000 (3,00198). Siempre existe ese punto a partir del cual la cola entera queda encerrada, y eso es lo que se demuestra en los ejercicios de definición.
Dónde suele fallar el atajo
«Mismo grado → cociente de coeficientes principales» funciona solo entre polinomios. Si aparece una raíz, hay que contar el grado con cuidado: en (3n² + 2n)/√(n⁴ + 5) el denominador crece como n², no como n⁴, así que el límite también es 3. Y si hay una exponencial, el atajo no aplica: cualquier exponencial con base mayor que 1 le gana a cualquier polinomio, así que n¹⁰⁰/2ⁿ → 0 por más impresionante que se vea el numerador.
Estudiar la convergencia de aₙ = √(n² + 3n) − n y de bₙ = ((n + 2)/n)ⁿ, calculando su límite cuando exista.
Las dos son indeterminadas, y de tipos distintos: la primera es ∞ − ∞ y la segunda es 1∞. Cada una tiene su herramienta.
Primera sucesión: ∞ − ∞ con una raíz, va el conjugado. Se multiplica y se divide por (√(n² + 3n) + n):
Arriba queda una diferencia de cuadrados, y la raíz desaparece:
Ahora es ∞/∞, y se divide arriba y abajo por n. Como n es positivo, √(n²) = n sin problemas de signo (a diferencia de lo que pasa con x → −∞):
Converge a 1,5. Control numérico: con n = 10⁷ da 1,49999… ✓
Lo que significa. √(n² + 3n) crece casi como n, pero le saca una ventaja que tiende a estabilizarse en 3/2. No es que la resta tienda a 0 ni a infinito: se acomoda en un número.
Segunda sucesión: 1∞, va el número e. Primero se escribe la base como 1 + algo:
Se acomoda al límite notable lím (1 + 1/m)^m = e, con m = n/2:
La regla rápida para controlarlo: en un 1∞, el resultado es e elevado al límite de (base − 1)·exponente:
Los dos caminos coinciden, y el segundo se hace en un renglón. Conviene saber los dos: el primero para escribirlo en el parcial, el segundo para verificar.
Control numérico: con n = 10⁶, bₙ ≈ 7,3890 ✓.
Dónde se pierde el punto: en la primera, contestar 0 «porque la raíz de n² + 3n se parece a n». Se parece, pero la diferencia no tiende a cero — hay que hacer la cuenta. En la segunda, contestar e en vez de e²: el 2 del numerador se traslada al exponente del resultado.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que (−1)ⁿ tiende a "±1". No tiene límite: diverge por oscilación.
- Suponer que si una sucesión es acotada entonces converge. Hace falta también que sea monótona.
- Usar L'Hôpital directamente sobre una sucesión: primero hay que pasar a la función real de variable continua.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sucesiones y su límite →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — La sucesión encerrada25 puntos · resuelto paso a paso
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