Análisis Matemático I (66) · Unidad 8 — Sucesiones y series
Teorema del sándwich
Si una sucesión queda atrapada entre otras dos que van al mismo lugar, no le queda otra que ir ahí también. Sirve especialmente cuando hay senos, cosenos o factoriales de por medio.
La explicación
El teorema
Es el recurso para las sucesiones que no se pueden calcular pero sí encerrar. El caso típico es cuando aparece algo que oscila y no tiene límite propio.
Las dos hipótesis hay que verificarlas: la desigualdad y que los dos extremos vayan al mismo lugar. Si bn → 0 y cn → 1, el teorema no dice nada.
Cómo se arman las cotas
Casi siempre saliendo de una función acotada:
−1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1 0 ≤ {parte decimal} < 1
Se reemplaza el factor oscilante por sus cotas y se ve si lo que queda a los costados tiende al mismo lado. Para sen(n)/n: dividiendo por n queda −1/n ≤ sen(n)/n ≤ 1/n, y los dos extremos van a 0.
Cero por acotado
Es el caso particular más usado, y conviene tenerlo como regla propia:
No hace falta que bn tenga límite: alcanza con que no se escape. Con eso, sucesiones como (−1)ⁿ/n², cos(n!)/n o sen(n)·e^(−n) salen en una línea.
La hipótesis de acotada es esencial. Si bn no está acotada el producto puede dar cualquier cosa: (1/n)·n² se va a infinito, y (1/n)·n tiende a 1.
Otro uso: comparar con algo conocido
El sándwich también sirve sin oscilaciones, para acotar expresiones complicadas entre dos simples. Para la raíz n-ésima de (2ⁿ + 3ⁿ), se acota entre 3 y 3·2^(1/n), y los dos tienden a 3.
Dónde aparece después
El sándwich es la herramienta con la que se prueba el límite de sen(x)/x en la unidad 3, y su idea —encerrar algo difícil contra algo conocido— es la misma del criterio de comparación de series en 8.4. No es un truco aislado: es el método para límites que no se calculan directamente.
Probar que lím sen(n)/n = 0.
1. Acoto la parte que oscila. El seno siempre está entre −1 y 1:
2. Divido por n, que es positivo (así que las desigualdades no se dan vuelta):
3. Verifico las cotas:
Las dos van a 0. Por el teorema del sándwich:
Notá que no calculamos nunca el límite de sen(n) por separado — de hecho no existe, porque oscila para siempre. El sándwich esquiva ese problema por completo.
Qué hace falta para poder usarlo
Las dos cotas tienen que ir al mismo número. Si una fuera a 0 y la otra a 1, el teorema no dice nada: la sucesión del medio podría hacer cualquier cosa entre las dos. Por eso la elección de las cotas importa, y la buena noticia es que casi siempre son las mismas —lo que oscila se acota entre sus valores extremos, y lo que decrece se acota por abajo con 0.
Cuándo se usa
La pista es un factor que oscila multiplicado por uno que se va a cero: sen(n), cos(n), (−1)ⁿ. Ninguno de los tres tiene límite por separado, así que no se puede partir el límite en un producto de límites — ese paso, que sale automático, acá está prohibido. El sándwich es la herramienta que resuelve exactamente esa situación.
Probar que la sucesión aₙ = n!/nⁿ converge y hallar su límite, usando el teorema del sándwich.
El problema de esta sucesión es que arriba y abajo crecen los dos a lo bestia: n! y nⁿ tienden a infinito, y ninguna de las dos se puede simplificar con la otra. No hay forma directa.
La estrategia del sándwich: encerrar aₙ entre dos sucesiones que tiendan al mismo límite. La de abajo es fácil, porque aₙ es positiva:
Para la cota de arriba hay que escribir el cociente factor por factor. Esta es la idea del ejercicio:
Arriba y abajo hay exactamente n factores, así que se pueden aparear uno a uno:
Ahora se mira cada paréntesis. Todos, salvo el primero, son menores o iguales que 1:
Entonces el producto entero es menor o igual que el primer factor solo:
Ya está armado el sándwich:
Las dos puntas tienden a lo mismo:
lím 1/n = 0
Por el teorema del sándwich, la del medio no tiene escapatoria:
Control numérico, que muestra lo rápido que pasa:
a₅ = 120/3125 = 0,0384 (y 1/5 = 0,2, la cota se cumple ✓)
a₅₀ < 10⁻²⁰
Lo que hay que retener. nⁿ le gana a n!, y por mucho. La escala de crecimiento, de menor a mayor, es: potencias de n (n², n³…), después exponenciales (2ⁿ, eⁿ), después el factorial n!, y por encima de todos nⁿ. Saber ese orden resuelve de un vistazo la mitad de los ejercicios de sucesiones.
Por qué el sándwich y no otra cosa. No se puede aplicar L'Hôpital: n es entero, no hay función derivable de por medio, y n! ni siquiera está definida para valores no enteros. El sándwich es la herramienta natural para sucesiones definidas con factoriales.
Dónde se pierde el punto: acotar mal. Si escribís n!/nⁿ ≤ 1, la cota es cierta pero inútil: 1 no tiende a 0 y el sándwich no cierra. La cota tiene que tender al mismo límite que la de abajo, y por eso hay que quedarse con el 1/n.
Dónde se cae la mayoría
- Usar cotas que van a límites distintos: ahí el teorema no concluye nada.
- Olvidar dar vuelta las desigualdades al multiplicar por algo negativo.
- Aplicarlo sin verificar que las desigualdades valen para todo n grande.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema del sándwich →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — La sucesión encerrada25 puntos · resuelto paso a paso
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Sucesiones y series