Análisis Matemático I · Unidad 8 — Sucesiones y series

Series numéricas y series geométricas

Una serie es sumar infinitos términos. Suena imposible, pero se define como el límite de las sumas parciales — y a veces da un número finito perfectamente concreto.

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La explicación

Qué es una serie

La suma de todos los términos de una sucesión. Como sumar infinitas cosas no está definido, se define por un límite:

S_N = a₁ + a₂ + … + a_N (suma parcial)
Σa_n = lím_N→∞ S_N

Una serie es el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Esa frase es toda la definición, y conviene tenerla presente: convergencia de una serie es convergencia de otra sucesión, la de las S_N.

La condición necesaria

si Σa_n converge, entonces a_n → 0

Se usa siempre por el contrarrecíproco: si el término general NO tiende a 0, la serie diverge. Es el primer chequeo que hay que hacer y descarta muchas de una.
La recíproca es falsa, y es el error más grave de la unidad: que a_n → 0 NO garantiza convergencia. El contraejemplo obligatorio es la serie armónica Σ1/n, cuyos términos van a 0 y que sin embargo diverge.

Serie geométrica

Σ_n≥0 rⁿ = 1/(1 − r) si |r| < 1

Si |r| ≥ 1 diverge, porque los términos no tienden a 0. Es la única familia junto con las telescópicas donde se puede calcular la suma exacta.

El error de siempre es el índice desde donde arranca. La fórmula 1/(1−r) vale empezando en n = 0. La forma segura y general es:
suma = primer término / (1 − razón)
Así, Σ desde n = 1 de (2/3)ⁿ tiene primer término 2/3 y da (2/3)/(1/3) = 2, no 3.

Cómo reconocerla: el cociente entre un término y el anterior es constante. Ese cociente es r.

Series telescópicas

Cuando el término general se puede escribir como una diferencia b_n − b_n+1, la suma parcial se cancela casi entera:

S_N = b₁ − b_N+1 ⟹ Σ = b₁ − lím b_N

El caso típico es 1/(n(n+1)), que se parte como 1/n − 1/(n+1) y da suma 1. Para armar la diferencia se usa el método de fracciones simples sobre el término general.

La estrategia: escribí las sumas parciales de los primeros tres o cuatro términos y mirá qué se cancela. Ahí se ve cuáles sobreviven.

Propiedades

Σ(a_n + b_n) = Σa_n + Σb_n, si las dos convergen.
Σ(k·a_n) = k·Σa_n.
Convergente + divergente = divergente.
Divergente + divergente = puede ser cualquier cosa.

Y lo mismo que con las sucesiones: cambiar finitos términos no afecta la convergencia, aunque sí cambia el valor de la suma.

Ejemplo resuelto

Calcular la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … y decidir si converge.

Es geométrica: cada término es la mitad del anterior. Identifico los datos:

primer término a = 1/2 razón r = 1/2

¿Converge? Sí, porque |r| = 1/2 < 1.

Suma (con la fórmula tomando a como el primer término efectivo):

S = a/(1 − r) = (1/2)/(1 − 1/2) = (1/2)/(1/2) = 1

Interpretación: si tomás la mitad de un metro, después la mitad de lo que queda, y así infinitas veces, en total recorrés exactamente un metro. Cada paso te acerca a la meta sin pasarte nunca.

Control con sumas parciales: 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375… efectivamente van a 1. ✓

Dónde se cae la mayoría

Concluir que una serie converge porque sus términos tienden a 0. La armónica lo desmiente.
Aplicar a/(1−r) sin verificar |r| < 1.
Equivocarse con el índice inicial en una geométrica.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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