Análisis Matemático I (66) · Unidad 8 — Sucesiones y series
Series numéricas y series geométricas
Una serie es sumar infinitos términos. Suena imposible, pero se define como el límite de las sumas parciales — y a veces da un número finito perfectamente concreto.
La explicación
Qué es una serie
La suma de todos los términos de una sucesión. Como sumar infinitas cosas no está definido, se define por un límite:
Σan = límN→∞ SN
Una serie es el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Esa frase es toda la definición, y conviene tenerla presente: convergencia de una serie es convergencia de otra sucesión, la de las SN.
La condición necesaria
La recíproca es falsa, y es el error más grave de la unidad: que an → 0 NO garantiza convergencia. El contraejemplo obligatorio es la serie armónica Σ1/n, cuyos términos van a 0 y que sin embargo diverge.
Serie geométrica
Si |r| ≥ 1 diverge, porque los términos no tienden a 0. Es la única familia junto con las telescópicas donde se puede calcular la suma exacta.
suma = primer término / (1 − razón)
Así, Σ desde n = 1 de (2/3)ⁿ tiene primer término 2/3 y da (2/3)/(1/3) = 2, no 3.
Cómo reconocerla: el cociente entre un término y el anterior es constante. Ese cociente es r.
Series telescópicas
Cuando el término general se puede escribir como una diferencia bn − bn+1, la suma parcial se cancela casi entera:
El caso típico es 1/(n(n+1)), que se parte como 1/n − 1/(n+1) y da suma 1. Para armar la diferencia se usa el método de fracciones simples sobre el término general.
La estrategia: escribí las sumas parciales de los primeros tres o cuatro términos y mirá qué se cancela. Ahí se ve cuáles sobreviven.
Propiedades
- Σ(an + bn) = Σan + Σbn, si las dos convergen.
- Σ(k·an) = k·Σan.
- Convergente + divergente = divergente.
- Divergente + divergente = puede ser cualquier cosa.
Y lo mismo que con las sucesiones: cambiar finitos términos no afecta la convergencia, aunque sí cambia el valor de la suma.
Calcular la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … y decidir si converge.
Es geométrica: cada término es la mitad del anterior. Identifico los datos:
¿Converge? Sí, porque |r| = 1/2 < 1.
Suma (con la fórmula tomando a como el primer término efectivo):
Interpretación: si tomás la mitad de un metro, después la mitad de lo que queda, y así infinitas veces, en total recorrés exactamente un metro. Cada paso te acerca a la meta sin pasarte nunca.
Control con sumas parciales: 0,5, 0,75, 0,875, 0,9375… efectivamente van a 1. ✓
Calcular la suma de la serie Σ, desde n = 1 hasta infinito, de (2^(n+1) + 3ⁿ)/6ⁿ. Expresar además el número periódico 0,272727… como fracción.
La serie parece una sola y son dos. El primer paso es separarla, porque cada pedazo es geométrico por su cuenta:
El primer término se acomoda sacando el 2 que sobra del exponente:
El segundo es directo:
Las dos son geométricas con razón menor que 1 (1/3 y 1/2), así que las dos convergen y se pueden sumar por separado.
La fórmula, con el detalle de que arrancan en n = 1 y no en n = 0:
Primera suma:
Segunda suma:
El total:
Control con sumas parciales: sumando los primeros 20 términos a mano ya da 1,99999… ✓. Si te hubiera dado más de 2, el error está casi seguro en haber usado la fórmula que arranca en n = 0, que es 1/(1 − r) y da uno más de lo que corresponde.
La segunda parte: el decimal periódico. Todo decimal periódico es una serie geométrica, y escribirla así es la forma de entender la regla que se aprende en la secundaria.
= Σn≥1 27·(1/100)ⁿ
Se suma con la misma fórmula:
Control: 3 dividido 11 da 0,272727… ✓
Y de paso queda explicada la regla de la escuela: «el período sobre tantos nueves como cifras tenga el período». Ese 99 es el 1 − 1/100 de la fórmula, disfrazado. No era una receta arbitraria: era una serie geométrica.
Dónde se pierde el punto: usar Σ rⁿ = 1/(1 − r) cuando la serie arranca en n = 1. Esa fórmula vale desde n = 0, y el término n = 0 es r⁰ = 1. Si arrancás en 1, hay que restar ese 1 — o usar directamente r/(1 − r).
Dónde se cae la mayoría
- Concluir que una serie converge porque sus términos tienden a 0. La armónica lo desmiente.
- Aplicar a/(1−r) sin verificar |r| < 1.
- Equivocarse con el índice inicial en una geométrica.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Series numéricas y series geométricas →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — Radio, intervalo y los dos extremos25 puntos · resuelto paso a paso
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