Análisis Matemático I (66) · Unidad 8 — Sucesiones y series

Criterios de convergencia

Casi ninguna serie se puede sumar exactamente. Los criterios no calculan la suma: solo deciden si existe o no, que muchas veces es todo lo que hace falta.

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La explicación

Para qué sirven los criterios

Salvo geométricas y telescópicas, la suma exacta no se puede calcular. Los criterios contestan la pregunta más modesta y más útil: ¿converge o no?

Series p, que son la vara de comparación

Σ 1/n^p converge ⟺ p > 1

Conviene tenerlo memorizado, porque es contra lo que se compara casi todo. Con p = 1 es la armónica, que diverge: es el caso límite exacto. Con p = 2 converge (a π²/6, aunque ese valor no se pide).

D’Alembert, o criterio del cociente

L = lím |a_n+1/a_n|
L < 1 → converge L > 1 → diverge L = 1 → no decide

Cuándo usarlo: cuando hay factoriales o exponenciales del tipo aⁿ, porque al dividir se simplifican casi enteros. Es el criterio por defecto para las series de potencias. Si lo que está elevado a la n es todo el término general, conviene el de la raíz, que está acá abajo.

Cauchy, o criterio de la raíz

L = lím (|a_n|)^1/n, mismas conclusiones

Cuándo usarlo: cuando todo el término general está elevado a la n, porque la raíz lo desarma de una.

El caso L = 1 no es un empate: es "no sirve"

Cuando el límite da exactamente 1, el criterio no dice nada y hay que buscar otro. Que quede claro por qué: para Σ1/n el cociente tiende a 1 y la serie diverge; para Σ1/n² también tiende a 1 y converge. El mismo valor de L con conclusiones opuestas.
Contestar "converge porque L = 1" es el error conceptual más caro de la unidad.

Comparación

Para series de términos positivos:

Si a_n ≤ b_n y Σb_n converge, entonces Σa_n converge. La grande manda hacia abajo.
Si a_n ≥ b_n y Σb_n diverge, entonces Σa_n diverge. La chica manda hacia arriba.

Hay que comparar contra algo conocido, y ese algo casi siempre es una serie p o una geométrica. Y el sentido de la desigualdad importa: acotar por arriba sirve para probar convergencia, por abajo para divergencia.

Series alternadas: Leibniz

Σ(−1)ⁿ·b_n con b_n > 0 converge si se cumplen las dos cosas:
1. b_n es decreciente, y
2. b_n → 0.

Así, Σ(−1)ⁿ/n converge aunque Σ1/n diverja. Eso se llama convergencia condicional: la serie converge por la cancelación entre términos positivos y negativos, no porque los términos se achiquen rápido.

Si además converge la serie de los valores absolutos, la convergencia es absoluta, y eso es más fuerte: absoluta implica convergencia común, pero no al revés.

En qué orden probar

1. ¿El término general tiende a 0? Si no, diverge y terminaste.
2. ¿Es geométrica o telescópica? Entonces calculá la suma.
3. ¿Hay factoriales o potencias n-ésimas? Cociente o raíz.
4. ¿Se parece a una serie p? Comparación.
5. ¿Es alternada? Leibniz.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Decidir si Σ n/2ⁿ converge.

Hay una exponencial, así que uso el criterio del cociente. Armo aₙ₊₁/aₙ:

aₙ₊₁/aₙ = [ (n+1)/2ⁿ⁺¹ ] · [ 2ⁿ/n ]

Simplifico: 2ⁿ/2ⁿ⁺¹ = 1/2, y queda

= (1/2)·(n+1)/n

Tomo límite:

L = lím (1/2)·(n+1)/n = (1/2)·1 = 1/2

Como L = 1/2 < 1, la serie converge.

Fijate por qué funcionó tan bien: al dividir aₙ₊₁ por aₙ, la exponencial se redujo a una constante y el polinomio a algo que tiende a 1. Con factoriales pasa lo mismo, y por eso este criterio es el indicado.

El control previo que hay que hacer siempre primero

Antes de elegir cualquier criterio conviene mirar si el término general tiende a cero, porque si no tiende a cero la serie diverge y no hace falta nada más. Acá n/2ⁿ → 0, porque la exponencial le gana al polinomio. Ojo: eso no prueba que converja —Σ1/n tiene término general que tiende a cero y diverge igual—, sólo evita perder tiempo con series que ya se sabía que divergían.

Por qué acá no sirven los otros criterios

Con comparación se podría, pero hay que acertar con qué comparar, y no es evidente. El de la integral pide integrar x/2ˣ, que es integración por partes. La regla práctica: cociente cuando hay exponenciales o factoriales (porque se simplifican al dividir), comparación cuando hay cocientes de polinomios, y la integral cuando el término general es fácil de integrar. Elegir bien el criterio es la mitad del ejercicio.

El caso que no decide nada. Si el límite del cociente hubiera dado exactamente 1, el criterio no concluye — ni converge ni diverge, hay que probar otra cosa. Y es lo que pasa justamente con las series más simples de todas, las p: Σ1/n y Σ1/n² dan las dos L = 1, y sin embargo la primera diverge y la segunda converge. Escribir «L = 1, entonces diverge» es el error más caro del tema.

Como dato de color, esta serie no sólo converge: se puede probar que suma exactamente 2. Sumando los primeros doscientos términos ya da 1,9999999999999998. Pero cuidado — los criterios de este tema contestan si converge, no a cuánto; salvo en los dos casos con fórmula, la geométrica y la telescópica.

Y uno del nivel del parcial

Decidir si converge la serie Σ (2ⁿ·n!)/nⁿ usando el criterio del cociente. Analizar después Σ (−1)ⁿ/√n y decir si converge y si lo hace absolutamente.

Cuando aparecen factoriales y potencias de n juntos, el criterio del cociente es el indicado. Se arma el cociente entre un término y el anterior:

a_n = 2ⁿ·n!/nⁿ
a_n+1 = 2^(n+1)·(n+1)!/(n+1)^(n+1)

a_n+1/a_n = [2^(n+1)·(n+1)!/(n+1)^(n+1)] · [nⁿ/(2ⁿ·n!)]

Se simplifica de a un factor, con cuidado:

2^(n+1)/2ⁿ = 2
(n+1)!/n! = n+1
nⁿ/(n+1)^(n+1) = nⁿ/[(n+1)ⁿ·(n+1)]

Se junta todo y el (n+1) de arriba se va con el de abajo:

a_n+1/a_n = 2·(n+1)·nⁿ/[(n+1)ⁿ·(n+1)] = 2·nⁿ/(n+1)ⁿ
= 2 / [(n+1)/n]ⁿ = 2 / (1 + 1/n)ⁿ

Y ahí aparece el número e, que es el que decide el ejercicio:

(1 + 1/n)ⁿ → e
lím a_n+1/a_n = 2/e ≈ 0,736

Como 2/e < 1, la serie converge. Y por poco: si en vez de 2ⁿ fuera 3ⁿ, el límite sería 3/e ≈ 1,10 > 1 y divergiría. El punto de quiebre está justo en eⁿ, donde el límite da 1 y el criterio no decide.

Ese es el valor de este ejercicio: muestra que el criterio del cociente no es un trámite mecánico, porque el resultado puede quedar pegadísimo al 1.

La segunda serie: Σ (−1)ⁿ/√n. Es alternada, así que va el criterio de Leibniz, que pide dos cosas sobre el valor absoluto del término:

b_n = 1/√n
1) b_n es decreciente ✓ (√n crece, así que 1/√n baja)
2) lím b_n = 0 ✓

Se cumplen las dos, así que la serie converge.

¿Y absolutamente? Eso se pregunta sobre la serie de los módulos:

Σ |(−1)ⁿ/√n| = Σ 1/√n = Σ 1/n^(1/2)

Es una serie p con p = 1/2. Las series p convergen si y solo si p > 1, y acá 1/2 ≤ 1:

Σ 1/√n diverge

Conclusión: converge, pero no absolutamente. Se dice que converge condicionalmente, y hay que escribir esa palabra: es la respuesta completa.

Qué significa en la práctica. La serie suma algo finito solo gracias a la cancelación entre términos positivos y negativos. Si se sacan los signos, la suma se va a infinito. Esa dependencia del orden es lo que hace raras a las series condicionalmente convergentes: reordenándolas se puede hacer que sumen cualquier cosa.

Dónde se pierde el punto: en la primera, no simplificar (n+1)!/n! = n+1 y quedar trabado; en la segunda, contestar «converge» y no decir si lo hace absolutamente, que es la mitad de la pregunta.

Dónde se cae la mayoría

Concluir divergencia cuando el criterio da L = 1. Ahí no se concluye nada.
Olvidar el valor absoluto en el criterio del cociente.
Aplicar Leibniz sin verificar que bₙ es decreciente.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Tercer parcial — Radio, intervalo y los dos extremos25 puntos · resuelto paso a paso

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