Análisis Matemático I (66) · Unidad 8 — Sucesiones y series
Series de potencias
Una serie de potencias es un polinomio infinito. Converge solo dentro de un radio alrededor de su centro, y adentro de ese radio se comporta como una función común y corriente.
La explicación
Qué es
Una serie donde cada término lleva una potencia de x:
Para cada valor de x es una serie numérica, que puede converger o no. Así que define una función, cuyo dominio es el conjunto de x donde converge. Es un polinomio de infinitos términos, y esa es la forma correcta de pensarla.
El radio de convergencia
El conjunto donde converge siempre tiene la misma forma: un intervalo centrado en x₀. Su semiancho es el radio R, y hay tres posibilidades:
- R = 0: converge sólo en x₀.
- R finito: converge en (x₀ − R, x₀ + R) y hay que analizar los bordes aparte.
- R = ∞: converge en todo ℝ, como la serie de ex.
Se calcula con el criterio del cociente aplicado al valor absoluto: se plantea que el límite sea menor que 1 y se despeja |x − x₀| < R.
Los bordes hay que mirarlos uno por uno
Los dos extremos pueden comportarse distinto: en Σxⁿ/n, en x = 1 queda la armónica (diverge) y en x = −1 la armónica alternada (converge). El intervalo es [−1, 1).
Por eso la respuesta completa son dos cosas: el radio y el intervalo. Dar sólo el intervalo abierto es dejar el ejercicio a medias.
Qué se puede hacer adentro del intervalo
Adentro del intervalo abierto, la serie se comporta como un polinomio:
- se puede derivar término a término;
- se puede integrar término a término;
- el radio no cambia al derivar ni al integrar — aunque el comportamiento en los bordes sí puede cambiar.
Eso es lo que permite construir series nuevas a partir de las conocidas sin calcular ninguna derivada n-ésima.
Series de Taylor
Si se toma an = f(n)(x₀)/n!, la serie de potencias es la serie de Taylor de f. Es el polinomio de Taylor de la unidad 6 llevado al infinito, y coincide con f exactamente donde el resto tiende a 0.
sen(x) = Σ (−1)ⁿ x2n+1/(2n+1)! (todo ℝ)
1/(1−x) = Σ xⁿ (sólo en |x| < 1)
La tercera es la geométrica de 8.3, ahora leída como el desarrollo de una función. Y muestra que el intervalo puede ser chico aunque la función esté definida en casi todos lados: 1/(1−x) existe para todo x ≠ 1, pero su serie sólo la representa entre −1 y 1.
El atajo que evita derivar
Casi nunca conviene calcular las derivadas n-ésimas. Se parte de una serie conocida y se la manipula: sustituyendo x por −x², multiplicando por una potencia, derivando o integrando. Así se obtiene el desarrollo de e^(−x²) o de arctg(x) en dos líneas.
Hallar el radio y el intervalo de convergencia de Σ xⁿ/n.
1. Radio. Aplico el criterio del cociente al término general aₙ = xⁿ/n:
Cuando n → ∞, n/(n+1) → 1, así que el límite es |x|. Para que converja hace falta |x| < 1:
2. Extremos. El criterio no decide en |x| = 1, así que los estudio uno por uno.
x = 1: queda Σ1/n, la serie armónica → diverge.
x = −1: queda Σ(−1)ⁿ/n, alternada con bₙ = 1/n decreciente y tendiendo a 0 → por Leibniz, converge.
3. Conclusión:
Es un intervalo semiabierto — y eso solo se descubre analizando los extremos por separado. Si hubiéramos contestado (−1,1) nos faltaba un pedazo.
Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias Σ, desde n = 1, de (x − 2)ⁿ/(n·3ⁿ), analizando por separado los dos extremos.
La serie está centrada en x₀ = 2, no en 0: eso se lee en el (x − 2) y es lo primero que hay que registrar, porque el intervalo va a estar alrededor del 2.
Se aplica el criterio del cociente al valor absoluto del término:
Se simplifica:
El factor n/(n+1) tiende a 1, así que el límite es:
El criterio pide L < 1 para que converja:
intervalo abierto: −3 < x − 2 < 3 → (−1 ; 5)
Ahora los extremos, que es donde está el medio punto, porque el criterio del cociente no dice nada cuando L = 1. Hay que reemplazar y estudiar cada serie numérica aparte.
Extremo derecho: x = 5.
Queda la serie armónica, que es el caso p = 1 y diverge. El 5 no entra.
Extremo izquierdo: x = −1.
Queda la serie armónica alternada. Por Leibniz: 1/n decrece ✓ y tiende a 0 ✓, así que converge. El −1 sí entra.
Lo que muestra el ejercicio: los dos extremos están a la misma distancia del centro y se comportan distinto. Uno cerrado y el otro abierto. Por eso no se puede contestar el intervalo sin analizarlos: no hay simetría garantizada.
Un control conceptual: el radio 3 tenía que aparecer, porque el 3ⁿ del denominador es lo único que compite con el (x−2)ⁿ. El n de abajo no cambia el radio —crece demasiado despacio— pero sí decide qué pasa en los bordes. Sin ese n, en x = −1 y x = 5 quedarían Σ(±1)ⁿ, que divergen las dos.
De yapa, la suma: esta serie es el desarrollo de −ln(1 − (x−2)/3). En x = −1 da −ln 2 ≈ −0,693, que es la suma de la armónica alternada con signo cambiado.
Dónde se pierde el punto: dar el intervalo como (−1 ; 5) sin analizar los extremos, o —peor— como (−3 ; 3), olvidando que la serie está centrada en 2 y no en 0.
Dónde se cae la mayoría
- Dar el intervalo sin analizar los extremos.
- Confundir el radio R con el intervalo (que tiene longitud 2R).
- Olvidar que el intervalo está centrado en x₀, no en 0, cuando la serie está corrida.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Series de potencias →Dónde entra este tema en el parcial
- Tercer parcial — Radio, intervalo y los dos extremos25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 8
Sucesiones y series