Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos
Identidades, gráficos y periodicidad
A·sen(Bx + C) + D es siempre la misma onda: A la estira en altura, B la comprime en el tiempo, C la corre de lado y D la sube. Reconocer cada letra es leer el gráfico sin dibujarlo.
La explicación
La identidad fundamental
Es la que se usa para pasar de seno a coseno cuando conocés uno solo de los dos. De ella salen las otras dos dividiendo todo por cos² o por sen²:
1 + cotan²(x) = cosec²(x)
No hace falta memorizarlas: si las necesitás, dividí la fundamental en el momento y salen en diez segundos.
Suma de ángulos y ángulo doble
cos(α + β) = cos α·cos β − sen α·sen β
Ojo con el signo cambiado en la del coseno: es el error más frecuente. Para la resta, basta usar que el seno es impar y el coseno par, o sea reemplazar β por −β.
Haciendo β = α salen las del ángulo doble:
cos(2α) = cos²α − sen²α = 1 − 2sen²α = 2cos²α − 1
Las tres formas del coseno doble son la misma cosa vista con la identidad fundamental. La que conviene elegir depende de qué querés que sobreviva: si la ecuación está en senos, usás 1 − 2sen²α; si está en cosenos, 2cos²α − 1. Elegir bien convierte una ecuación imposible en una cuadrática.
Resolver ecuaciones trigonométricas
2. Si queda una cuadrática en sen(x) o cos(x), resolvela como cuadrática.
3. Buscá todas las soluciones de una vuelta con la circunferencia: normalmente son dos por cada valor.
4. Si el dominio abarca varias vueltas, sumá los múltiplos del período.
5. Descartá lo imposible: sen(x) = 3 no tiene solución, porque la imagen es [−1, 1].
El paso 3 es donde se pierde medio ejercicio. Que la calculadora devuelva un ángulo no significa que sea el único: el arcoseno devuelve siempre uno solo, y el otro hay que encontrarlo con la simetría.
Los gráficos, y cómo leerlos de la fórmula
Para f(x) = A·sen(Bx + C) + D:
- Amplitud = |A|. La onda va de D − |A| hasta D + |A|, así que la imagen es [D − |A|, D + |A|].
- Período = 2π/|B|. Cuanto más grande B, más apretada la onda.
- Corrimiento horizontal = −C/B. No es C. Para leerlo bien hay que sacar B como factor común primero: Bx + C = B(x + C/B).
- D sube o baja todo el gráfico; es el eje alrededor del cual oscila.
El coseno es el seno corrido π/2: cos(x) = sen(x + π/2). Por eso cualquier gráfico se puede escribir con cualquiera de los dos.
La tangente es otra cosa
tan(x) = sen(x)/cos(x), así que no está definida donde el coseno se anula:
Im(tan) = ℝ Período = π (no 2π)
En cada uno de esos puntos prohibidos hay una asíntota vertical. Y el período es π y no 2π, porque al avanzar media vuelta el seno y el coseno cambian los dos de signo y el cociente queda igual. Es la excepción que hay que tener presente.
Las inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente
Ninguna de las trigonométricas es inyectiva, así que para poder invertirlas hay que restringir el dominio a un tramo donde sí lo sean. La elección es una convención, y es la que usa la calculadora:
arccos: [−1, 1] → [0, π]
arctan: ℝ → (−π/2, π/2)
De ahí sale una consecuencia que conviene tener clara: sen(arcsen(x)) = x siempre, pero arcsen(sen(x)) = x sólo si x está en [−π/2, π/2]. Por ejemplo arcsen(sen(3π/4)) da π/4, no 3π/4, porque la respuesta tiene que caer en el rango permitido.
Es exactamente la razón por la que, al despejar un ángulo de una ecuación, la calculadora te da un solo valor y el resto lo tenés que poner vos.
Para f(x) = 2·sen(3x − π) + 1, hallar amplitud, período, imagen y corrimiento, y resolver f(x) = 1.
Amplitud. Es |A| = 2.
Período. 2π/|B| = 2π/3.
Imagen. El seno va de −1 a 1; multiplicado por 2 va de −2 a 2; sumándole 1:
Corrimiento. Acá está la trampa. Hay que sacar el 3 como factor común antes de leer nada:
Así que el corrimiento es π/3 hacia la derecha, no π. Leerlo sin factorizar da el triple de lo correcto.
Ahora la ecuación f(x) = 1:
El seno se anula en los múltiplos de π, así que
Son infinitas soluciones, espaciadas π/3 entre sí. Fijate que esa distancia es justo medio período (el período es 2π/3), que es lo que tiene que pasar: dentro de cada período el seno cruza el cero dos veces.
Control. Probemos con k = 0, o sea x = π/3:
Y con k = 1, x = 2π/3: f = 2·sen(2π − π) + 1 = 2·sen(π) + 1 = 1 ✔
Un último control barato: el valor 1 es exactamente el centro de la imagen [−1, 3], así que tenía que cortarse infinitas veces. Si te hubiera dado un conjunto vacío, ahí ya sabías que algo estaba mal.
Sea f(x) = −4·cos(2x + π/3) + 1. Hallar la amplitud, el período y la imagen, y resolver f(x) = 5 en el intervalo [0, 2π].
La forma general es f(x) = A·cos(ω·x + φ) + D, y cada letra se lee de un lugar distinto. Acá A = −4, ω = 2, φ = π/3 y D = 1.
La amplitud es el módulo de A, nunca negativa:
El período depende solo de ω:
La imagen. Se arma desde adentro hacia afuera, paso por paso:
−4·cos(2x + π/3) ∈ [−4, 4]
−4·cos(2x + π/3) + 1 ∈ [−3, 5]
Acá está la trampa del ejercicio. Como A es negativo, el máximo de f no ocurre donde el coseno vale 1 sino donde vale −1. El −4 da vuelta la función.
Resolver f(x) = 5. Se despeja el coseno primero:
−4·cos(2x + π/3) = 4
cos(2x + π/3) = −1
El coseno vale −1 solo en π y sus vueltas:
Se despeja x, sin tocar el «+2kπ» hasta el final:
x = π/3 + kπ
Ahora se buscan los k que caen en [0, 2π]:
k = 1 → x = π/3 + π = 4π/3 ✓
k = 2 → x = 7π/3 > 2π ✗
k = −1 → x = −2π/3 < 0 ✗
Control: f(π/3) = −4·cos(2π/3 + π/3) + 1 = −4·cos(π) + 1 = 4 + 1 = 5 ✓. Y que haya exactamente dos soluciones era previsible: el período es π, el intervalo [0, 2π] mide dos períodos, y el máximo se alcanza una vez por período.
Dónde se pierde el punto: resolver cos(2x + π/3) = −1 y despejar x olvidándose de dividir el 2kπ por 2. El desplazamiento entre soluciones es kπ, no 2kπ, justamente porque ω = 2 comprime todo a la mitad.
Dónde se cae la mayoría
- Dar una sola solución cuando hay dos por vuelta. cos x = 1/2 tiene solución en π/3 y en 5π/3.
- Calcular la fase como C en lugar de −C/B.
- Usar sen(2x) = 2sen(x). Es falso: la fórmula correcta es 2·sen x·cos x.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Identidades, gráficos y periodicidad →Los otros temas de la unidad 3
Trigonométricas, exponenciales y logaritmos