Análisis Matemático I (66) · Unidad 3 — Trigonométricas, exponenciales y logaritmos
Funciones trigonométricas
Seno y coseno son las coordenadas de un punto que gira en la circunferencia de radio 1. Todo lo demás — los valores notables, los signos por cuadrante, la periodicidad — sale de mirar ese dibujo.
La explicación
Del triángulo a la circunferencia
En un triángulo rectángulo: sen(θ) = opuesto/hipotenusa, cos(θ) = adyacente/hipotenusa, tan(θ) = opuesto/adyacente. Eso alcanza para ángulos entre 0 y 90°, y no depende del tamaño del triángulo: si lo agrandás proporcionalmente los ángulos no cambian, así que las razones tampoco.
Para cualquier ángulo se usa la circunferencia unitaria: si girás un ángulo θ desde el eje x positivo, el punto donde caés tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Ésa deja de ser una razón entre lados y pasa a ser una definición, y es la que permite hablar de sen(x) para todo x real, que es lo que hace falta en Análisis.
Con esa imagen:
- Los signos por cuadrante salen solos: en el segundo cuadrante la x es negativa, así que el coseno es negativo y el seno positivo.
- sen² + cos² = 1 es literalmente Pitágoras sobre el radio 1.
- La periodicidad 2π es "dar una vuelta entera y volver al mismo punto".
- La imagen de seno y coseno es [−1, 1], porque el punto no puede salirse de la circunferencia.
Las seis razones, no tres
Además de las tres de siempre hay tres recíprocas, y los ejercicios las piden:
sec(θ) = 1/cos(θ)
cosec(θ) = 1/sen(θ)
La que se confunde es la pareja: la secante va con el coseno y la cosecante con el seno, o sea al revés de lo que sugiere el nombre.
Radianes
Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Como la circunferencia entera mide 2π radios, la vuelta completa son 2π radianes, y de ahí la conversión:
Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180; para volver, por 180/π. En Análisis se trabaja siempre en radianes, y no es un capricho: los límites notables y las derivadas de seno y coseno sólo son limpios en radianes. En grados, el límite de sen(x)/x da π/180 en vez de 1, y la derivada del seno dejaría de ser el coseno.
Los valores que hay que saber sin calculadora
sen: 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cos: 1 √3/2 √2/2 1/2 0
Fijate el patrón: el seno sube 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 y el coseno hace exactamente lo mismo al revés. Una regla para no olvidarla: los cinco valores del seno son √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2.
Los otros cuadrantes salen del primero
No hay que memorizar cuatro tablas. Todo ángulo se reduce al primer cuadrante con su ángulo de referencia (la distancia al eje x más cercano) y después se le pone el signo que corresponda:
sen(π + x) = −sen(x) cos(π + x) = −cos(x)
sen(−x) = −sen(x) cos(−x) = cos(x)
La última línea dice que el seno es impar y el coseno es par, que es lo que se ve en sus gráficos: el del coseno es simétrico respecto del eje y, el del seno respecto del origen.
Hallar las seis razones trigonométricas de 5π/6 sin usar calculadora.
Primero ubico el ángulo. 5π/6 son 150°, así que está en el segundo cuadrante.
El ángulo de referencia. Es la distancia al eje x más cercano, que acá es el negativo:
Los signos del segundo cuadrante. Ahí la coordenada x es negativa y la y positiva, así que el coseno es negativo y el seno positivo.
Combinando las dos cosas con la tabla del primer cuadrante:
cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2
tan(5π/6) = sen/cos = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3
Y las tres recíprocas salen dando vuelta cada una:
sec(5π/6) = 1/cos = −2/√3
cotan(5π/6) = 1/tan = −√3
Control 1: la identidad pitagórica. (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✔
Control 2: el signo de la tangente. En el segundo cuadrante seno y coseno tienen signos distintos, así que su cociente tiene que ser negativo, y lo es ✔ Este control de un segundo detecta el error más común del tema, que es arrastrar mal un signo.
Control 3: el orden de magnitud. 150° está cerca de 180°, donde el seno vale 0 y el coseno −1. Y efectivamente 1/2 es chico y −√3/2 ≈ −0,87 está cerca de −1 ✔
Sabiendo que sen α = 3/5 y que α pertenece al segundo cuadrante, hallar cos α, tg α, sen(2α), cos(2α) y cos(α + π/2), sin usar calculadora.
El dato del cuadrante no es decorativo: es lo único que decide el signo del coseno. Con sen α = 3/5 hay dos ángulos posibles, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo, y tienen cosenos opuestos.
El coseno, por la identidad pitagórica:
cos²α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25
cos α = ± 4/5
Se elige el signo con el cuadrante. En el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno negativo:
La tangente, por definición:
Negativa, como corresponde al segundo cuadrante. Ese es el control: seno +, coseno −, tangente −.
El seno del doble, con la fórmula sen(2α) = 2·sen α·cos α:
El coseno del doble, con cos(2α) = cos²α − sen²α:
Control de los dos: tienen que cumplir ellos también la identidad pitagórica, porque 2α es un ángulo como cualquier otro:
Y lo que dicen los signos: sen(2α) < 0 y cos(2α) > 0 ubican a 2α en el cuarto cuadrante. Tiene sentido: si α está entre 90° y 180°, el doble está entre 180° y 360°, y como sen α = 3/5 es chico, α está cerca de 180° y 2α cerca de 360°.
El último, con la fórmula del coseno de una suma:
= cos α · 0 − sen α · 1 = −sen α = −3/5
Sumar π/2 convierte el coseno en menos seno. Eso no es una fórmula aparte: es lo que se ve en el gráfico, que el coseno es el seno corrido un cuarto de vuelta.
Dónde se pierde el punto: tomar cos α = 4/5 porque «la raíz de 16/25 es 4/5». La raíz cuadrada da el valor absoluto; el signo lo pone el cuadrante, y si el enunciado se molestó en decirlo es porque hace falta.
Dónde se cae la mayoría
- Tener la calculadora en grados cuando el ejercicio está en radianes (o al revés).
- Confundir sen²(x) con sen(x²). El primero es (sen x)², el segundo es el seno de x².
- Olvidar que sen y cos siempre están entre −1 y 1: si te da 3, hay un error de cuentas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Funciones trigonométricas →Los otros temas de la unidad 3
Trigonométricas, exponenciales y logaritmos