Análisis Matemático I (66) · Unidad 2 — Límites y continuidad
Teorema de Bolzano
Si una función continua pasa de negativa a positiva, en algún lado tuvo que valer cero. Suena obvio, pero es un teorema potente: garantiza que existe una raíz sin decirte cuál.
La explicación
Qué dice Bolzano
Dicho sin símbolos: una curva que se dibuja sin levantar el lápiz y que empieza abajo del eje y termina arriba, en algún momento lo cruzó.
Las hipótesis no son decoración
- Continua: sin eso el teorema es falso. f(x) = 1/x vale −1 en x = −1 y 1 en x = 1, y nunca se anula: salta por la asíntota.
- Cerrado: los extremos tienen que estar incluidos, porque ahí se evalúa.
- Signos opuestos: la condición formal es f(a)·f(b) < 0, que es la manera compacta de escribirlo.
En un parcial hay que enunciar las tres aunque sean obvias. Con un polinomio, decir "es continua en [a,b] por ser polinómica" es una línea y es la línea que te dan por válida.
Bolzano da existencia, nunca unicidad
El teorema dice "existe al menos un c". Podría haber tres, o cinco. Concluir que la raíz es única a partir de Bolzano es un error conceptual, no un descuido.
Para la unicidad hace falta otro argumento, y el habitual es la monotonía: si además f es estrictamente creciente (o decreciente) en el intervalo, no puede cruzar el cero dos veces. Se justifica viendo que es suma de funciones crecientes, o más adelante con el signo de la derivada.
monotonía → a lo sumo una
las dos juntas → exactamente una
Cómo se usa: pasar todo a un lado
Bolzano habla de ceros de una función, no de igualdades. Para probar que cos(x) = x tiene solución, no se aplica a cos(x): se define f(x) = cos(x) − x y se le aplica a ésa. Ese paso es obligatorio y es el que más se saltea.
El teorema del valor intermedio
Es la versión general, y a veces es la que hace falta:
Bolzano es el caso particular con el valor 0. Si te piden probar que existe c con f(c) = 7, aplicás el del valor intermedio directamente, o Bolzano a la función f(x) − 7. Los dos caminos son el mismo.
Una consecuencia linda: la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo, sin agujeros.
Acotar la raíz: bisección
Bolzano no dice dónde está la raíz, pero da un método para acorralarla. Se evalúa en el punto medio y se elige la mitad donde sigue habiendo cambio de signo. Cada paso parte el intervalo al medio, así que la incertidumbre se reduce a la mitad cada vez.
Los ejercicios que piden "hallar un intervalo de longitud menor que 1/4 que contenga a la raíz" se resuelven con dos o tres pasos de esto, evaluando y mirando signos.
Un uso que aparece seguido
Probar que una ecuación como f(x) = g(x) tiene solución: se arma h(x) = f(x) − g(x) y se buscan dos puntos donde h tenga signos distintos. Es el mismo recurso de "pasar todo a un lado", y sirve tanto para "esta ecuación tiene raíz" como para "estos dos gráficos se cortan".
Probar que la ecuación cos(x) = x tiene solución en [0, 1], y que es la única.
Paso 1: pasar todo a un lado. Bolzano habla de ceros, no de igualdades:
Resolver cos(x) = x es lo mismo que hallar un cero de f.
Paso 2: verificar la continuidad. f es la diferencia entre el coseno y un polinomio, las dos continuas en todo ℝ. Por el álgebra de funciones continuas, f es continua en ℝ, y en particular en el cerrado [0, 1].
Paso 3: evaluar en los extremos.
f(1) = cos(1) − 1 ≈ 0,5403 − 1 = −0,4597 < 0
Ojo: cos(1) es el coseno de 1 radián, no de 1 grado. Con la calculadora en grados, cos(1°) ≈ 0,9998 y f(1) daría −0,0002: sigue siendo negativo, así que acá zafás de casualidad, pero el número no tiene nada que ver y la raíz que encontrarías después estaría en otro lado. En Análisis el argumento de una función trigonométrica es siempre un número real, no un ángulo en grados.
Paso 4: aplicar el teorema. f es continua en [0, 1] y f(0)·f(1) < 0, así que por Bolzano existe al menos un c en (0, 1) con f(c) = 0, o sea cos(c) = c.
Paso 5: la unicidad, que Bolzano no da. Hay que agregar un argumento:
La suma de dos decrecientes es decreciente, y si al menos una de las dos es estrictamente decreciente la suma también lo es —acá lo es −x—, así que f es estrictamente decreciente y cruza el cero a lo sumo una vez. (La aclaración no es para molestar: sumando dos constantes, que son decrecientes en sentido amplio, queda una constante, que no cruza nada.) Junto con Bolzano, que daba al menos una, queda exactamente una.
Paso 6: acorralarla. Evalúo en el punto medio:
Como f(0,5) > 0 y f(1) < 0, la raíz está en (0,5, 1). Repitiendo:
Así que está en (0,5, 0,75), un intervalo de longitud 0,25. Dos evaluaciones y ya sabemos dónde está con un error menor a 1/4.
Control. El valor real es c ≈ 0,739085, que efectivamente cae en (0,5, 0,75) ✔ y cumple cos(0,739085) = 0,739085 ✔ Este número se llama el punto fijo del coseno, y aparece si apretás cos repetidamente en la calculadora empezando desde cualquier número: siempre converge ahí.
Probar que la ecuación x³ + x − 1 = 0 tiene exactamente una solución real, y encerrarla en un intervalo de longitud 1/4 usando el método de bisección.
El ejercicio pide dos cosas distintas y cada una tiene su herramienta: que exista al menos una raíz lo da Bolzano; que no haya más de una lo da la monotonía. Las dos juntas dan «exactamente una».
Que existe: Bolzano. Se define f(x) = x³ + x − 1, que es un polinomio y por lo tanto continua en todo ℝ. Se buscan dos puntos donde cambie de signo:
f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0
f es continua en [0, 1] y cambia de signo, así que por el teorema de Bolzano existe c ∈ (0, 1) con f(c) = 0. Esas tres condiciones —continua, intervalo cerrado, signos opuestos— hay que nombrarlas, porque el punto del parcial está en citar el teorema bien, no en encontrar el número.
Que no hay otra: la derivada.
Un cuadrado es siempre ≥ 0, así que 3x² + 1 ≥ 1 > 0 para todo x. La función es estrictamente creciente en todo ℝ, y una función estrictamente creciente no puede valer cero dos veces: si lo hiciera, entre las dos raíces tendría que bajar.
Conclusión: existe una y es única.
Ahora la bisección. El método es siempre el mismo: se parte el intervalo al medio, se evalúa ahí, y se conserva la mitad donde sigue habiendo cambio de signo.
Paso 1. El punto medio de [0, 1] es 0,5:
f(0,5) es negativo y f(1) positivo, así que la raíz está en (0,5 ; 1). La mitad izquierda se descarta: ahí f va de negativo a negativo.
Paso 2. El punto medio de [0,5 ; 1] es 0,75:
Ahora el cambio de signo está entre 0,5 y 0,75:
Cuántos pasos hacen falta, en general. Cada bisección parte a la mitad, así que desde un intervalo de longitud 1 se llega a 1/2, 1/4, 1/8… El de longitud 1/4 es el segundo paso, y eso se puede anticipar antes de empezar: para 1/2ⁿ hacen falta n pasos.
El valor real, para que veas que cierra: c ≈ 0,6823, que efectivamente está entre 0,5 y 0,75.
Dónde se pierde el punto: decir «es única porque es de grado 3 e impar». El grado impar garantiza al menos una raíz real, no una sola: x³ − x tiene tres. Lo que da la unicidad es que la derivada no cambie de signo.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarlo sin verificar la continuidad. Es la hipótesis que más se olvida y la que más se toma.
- Concluir que hay exactamente una raíz. Bolzano dice "al menos una".
- Creer que si f(a) y f(b) tienen el mismo signo entonces no hay raíces. El teorema no dice eso.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema de Bolzano →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La que tiene que pegar, y una raíz que existe25 puntos · resuelto paso a paso
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Límites y continuidad