Análisis Matemático I · Unidad 2 — Límites y continuidad
Teorema de Bolzano
Si una función continua pasa de negativa a positiva, en algún lado tuvo que valer cero. Suena obvio, pero es un teorema potente: garantiza que existe una raíz sin decirte cuál.
La explicación
Qué dice Bolzano
Dicho sin símbolos: una curva que se dibuja sin levantar el lápiz y que empieza abajo del eje y termina arriba, en algún momento lo cruzó.
Las hipótesis no son decoración
- Continua: sin eso el teorema es falso. f(x) = 1/x vale −1 en x = −1 y 1 en x = 1, y nunca se anula: salta por la asíntota.
- Cerrado: los extremos tienen que estar incluidos, porque ahí se evalúa.
- Signos opuestos: la condición formal es f(a)·f(b) < 0, que es la manera compacta de escribirlo.
En un parcial hay que enunciar las tres aunque sean obvias. Con un polinomio, decir "es continua en [a,b] por ser polinómica" es una línea y es la línea que te dan por válida.
Bolzano da existencia, nunca unicidad
El teorema dice "existe al menos un c". Podría haber tres, o cinco. Concluir que la raíz es única a partir de Bolzano es un error conceptual, no un descuido.
Para la unicidad hace falta otro argumento, y el habitual es la monotonía: si además f es estrictamente creciente (o decreciente) en el intervalo, no puede cruzar el cero dos veces. Se justifica viendo que es suma de funciones crecientes, o más adelante con el signo de la derivada.
monotonía → a lo sumo una
las dos juntas → exactamente una
Cómo se usa: pasar todo a un lado
Bolzano habla de ceros de una función, no de igualdades. Para probar que cos(x) = x tiene solución, no se aplica a cos(x): se define f(x) = cos(x) − x y se le aplica a ésa. Ese paso es obligatorio y es el que más se saltea.
El teorema del valor intermedio
Es la versión general, y a veces es la que hace falta:
Bolzano es el caso particular con el valor 0. Si te piden probar que existe c con f(c) = 7, aplicás el del valor intermedio directamente, o Bolzano a la función f(x) − 7. Los dos caminos son el mismo.
Una consecuencia linda: la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo, sin agujeros.
Acotar la raíz: bisección
Bolzano no dice dónde está la raíz, pero da un método para acorralarla. Se evalúa en el punto medio y se elige la mitad donde sigue habiendo cambio de signo. Cada paso parte el intervalo al medio, así que la incertidumbre se reduce a la mitad cada vez.
Los ejercicios que piden "hallar un intervalo de longitud menor que 1/4 que contenga a la raíz" se resuelven con dos o tres pasos de esto, evaluando y mirando signos.
Un uso que aparece seguido
Probar que una ecuación como f(x) = g(x) tiene solución: se arma h(x) = f(x) − g(x) y se buscan dos puntos donde h tenga signos distintos. Es el mismo recurso de "pasar todo a un lado", y sirve tanto para "esta ecuación tiene raíz" como para "estos dos gráficos se cortan".
Probar que la ecuación cos(x) = x tiene solución en [0, 1], y que es la única.
Paso 1: pasar todo a un lado. Bolzano habla de ceros, no de igualdades:
Resolver cos(x) = x es lo mismo que hallar un cero de f.
Paso 2: verificar la continuidad. f es la diferencia entre el coseno y un polinomio, las dos continuas en todo ℝ. Por el álgebra de funciones continuas, f es continua en ℝ, y en particular en el cerrado [0, 1].
Paso 3: evaluar en los extremos.
f(1) = cos(1) − 1 ≈ 0,5403 − 1 = −0,4597 < 0
Ojo: cos(1) es el coseno de 1 radián, no de 1 grado. Con la calculadora en grados, cos(1°) ≈ 0,9998 y f(1) daría −0,0002: sigue siendo negativo, así que acá zafás de casualidad, pero el número no tiene nada que ver y la raíz que encontrarías después estaría en otro lado. En Análisis el argumento de una función trigonométrica es siempre un número real, no un ángulo en grados.
Paso 4: aplicar el teorema. f es continua en [0, 1] y f(0)·f(1) < 0, así que por Bolzano existe al menos un c en (0, 1) con f(c) = 0, o sea cos(c) = c.
Paso 5: la unicidad, que Bolzano no da. Hay que agregar un argumento:
La suma de dos funciones decrecientes es estrictamente decreciente, así que f lo es, y una función estrictamente decreciente cruza el cero a lo sumo una vez. Junto con Bolzano, que daba al menos una, queda exactamente una.
Paso 6: acorralarla. Evalúo en el punto medio:
Como f(0,5) > 0 y f(1) < 0, la raíz está en (0,5, 1). Repitiendo:
Así que está en (0,5, 0,75), un intervalo de longitud 0,25. Dos evaluaciones y ya sabemos dónde está con un error menor a 1/4.
Control. El valor real es c ≈ 0,739085, que efectivamente cae en (0,5, 0,75) ✔ y cumple cos(0,739085) = 0,739085 ✔ Este número se llama el punto fijo del coseno, y aparece si apretás cos repetidamente en la calculadora empezando desde cualquier número: siempre converge ahí.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicarlo sin verificar la continuidad. Es la hipótesis que más se olvida y la que más se toma.
- Concluir que hay exactamente una raíz. Bolzano dice "al menos una".
- Creer que si f(a) y f(b) tienen el mismo signo entonces no hay raíces. El teorema no dice eso.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema de Bolzano →