Análisis Matemático I (66) · Unidad 2 — Límites y continuidad
Continuidad
Una función es continua en un punto si el límite existe, el punto está en el dominio, y los dos coinciden. Las tres condiciones son distintas y cada una puede fallar sola.
La explicación
Las tres condiciones
f es continua en x = a cuando se cumplen las tres, en este orden:
2. el límite existe (los dos laterales existen y coinciden).
3. coinciden entre sí: el límite vale exactamente f(a).
Fallar en cualquiera de las tres alcanza para que sea discontinua, y cuál falla es lo que define el tipo. Por eso la pregunta "¿es continua?" siempre se responde revisando las tres, no una.
La intuición: continua significa que el gráfico se dibuja sin levantar el lápiz. Todo lo demás es la manera precisa de decir eso.
Clasificar la discontinuidad
- Evitable: el límite existe pero no coincide con f(a), o f(a) no está definido. Es un agujero. Se llama evitable porque se arregla redefiniendo un solo punto: se le asigna a f(a) el valor del límite y queda continua.
- De salto finito (o de primera especie): los dos laterales existen pero son distintos. El gráfico pega un escalón. No se arregla cambiando un punto: habría que cambiar toda una rama.
- Esencial (o de segunda especie): alguno de los laterales no existe o es infinito. El caso típico es la asíntota vertical.
Con los nombres hay que tener cuidado porque los libros no se ponen de acuerdo: vas a encontrar alguno que llame «esencial de primera especie» al salto. Acá, y en todos los ejercicios, esencial quiere decir la de segunda especie: la del lateral infinito o inexistente. Si es un escalón, la respuesta es «de salto».
En una función racional, esto es exactamente la distinción entre agujero y asíntota de la unidad 1, con una precisión que conviene no saltearse: simplificá primero y después mirá el denominador que quedó. Si ya no se anula en ese punto, la discontinuidad es evitable; si todavía se anula, es esencial. Decir «se cancela, entonces es evitable» alcanza cuando el factor aparece una sola vez abajo, pero falla con los repetidos: en (x − 2)/(x − 2)² el factor se cancela y aun así abajo queda (x − 2), o sea asíntota vertical, no agujero.
Qué funciones son continuas, para no probar de más
Son continuas en todo su dominio: polinomios, racionales, raíces, exponenciales, logarítmicas, seno y coseno. Y el álgebra de funciones continuas dice que la suma, el producto, el cociente (donde no se anule el denominador) y la composición de continuas es continua.
Consecuencia práctica: no hay que analizar punto por punto. En una función definida por partes, cada rama suele ser continua por sí sola, y el único trabajo real está en los puntos donde cambia la fórmula. Decirlo explícitamente es parte de la respuesta esperada.
Continuidad en un intervalo, y los bordes
En los extremos de un intervalo cerrado sólo se pide el lateral que tiene sentido: continuidad por derecha en el extremo izquierdo y por izquierda en el derecho. Esto importa porque los teoremas fuertes — Bolzano, el del valor intermedio, y más adelante Weierstrass — piden continuidad en un cerrado, y si te olvidás de los bordes la hipótesis no está verificada.
Hallar parámetros para que sea continua
Es el ejercicio clásico. En cada punto de empalme se plantea:
Cada punto de empalme da una ecuación. Con dos parámetros y dos empalmes, normalmente cada ecuación resuelve uno y no hace falta sistema; si los dos parámetros aparecen en la misma rama, sí hay que armar el sistema.
1. Fijate bien qué rama define el valor en el punto de empalme: el que tiene el ≤ o el ≥. Si ninguna lo incluye, la función ni siquiera está definida ahí y no hay parámetro que la salve.
2. Puede no haber solución. Si te queda 2 = 3, la respuesta correcta es "no existen valores que la hagan continua", y eso también es una respuesta.
Analizar la continuidad de f(x) = (x² − 1)/(x² − x − 2), clasificar cada discontinuidad y decir cuáles se pueden evitar.
Paso 1: el dominio. Factorizo el denominador:
Como es un cociente de polinomios, en todo el resto es continua por el álgebra de funciones continuas. Sólo hay que mirar esos dos puntos.
Paso 2: factorizar también arriba.
El factor (x + 1) está arriba y abajo: se cancela. El (x − 2) no.
Paso 3: x = −1. Como el factor se cancela, el límite existe. Lo calculo con la expresión simplificada:
El límite existe y vale 2/3, pero f(−1) no existe. Falla la primera condición, no la segunda.
Y se evita de verdad: definiendo f(−1) = 2/3 la función queda continua ahí. Ése es todo el contenido de la palabra "evitable".
Paso 4: x = 2. Acá el factor no se cancela, así que el denominador se anula con numerador distinto de cero. Los laterales:
x → 2⁺: (x−1)/(x−2) → 1/0⁺ = +∞
No se arregla con ningún valor: no hay número que uno pueda asignarle a f(2) para pegar dos ramas que se van a infinitos opuestos.
Control numérico. Cerca de −1 la función vale casi 2/3 de los dos lados (en x = −1,001 da 0,6668 y en x = −0,999 da 0,6666) ✔ Cerca de 2 se dispara: en x = 1,999 da −999 y en x = 2,001 da 1001 ✔
Lo que hay que poder decir. Los dos puntos salen de "el denominador se anula", y sin embargo uno es un agujero de un solo punto y el otro una asíntota. Lo que los separa es si el factor se cancela o no, y eso se ve factorizando, no evaluando.
Hallar a y b para que f sea continua en todo ℝ, siendo f(x) = (x² − 4)/(x − 2) si x < 2; f(x) = a·x + b si 2 ≤ x ≤ 5; y f(x) = (x² − 25)/(x − 5) si x > 5. Decir además qué tipo de discontinuidad quedaría en x = 2 si fuera a = 1 y b = 1.
La función ya es continua en casi todos lados. Cada trozo por separado es continuo donde se usa: las dos racionales tienen su problema en 2 y en 5 respectivamente, pero ahí no se las usa (la primera vale solo para x < 2, la tercera solo para x > 5). Los únicos puntos en duda son los empalmes: x = 2 y x = 5.
Continuidad en un punto pide tres cosas: que exista f(x₀), que exista el límite, y que sean iguales. Se plantea en cada empalme.
Empalme en x = 2. Por izquierda llega la racional, que se simplifica:
Por derecha, y en el punto mismo, manda la recta: f(2) = 2a + b. Para que peguen:
Empalme en x = 5. Por derecha llega la otra racional:
Por izquierda, y en el punto, manda la recta: f(5) = 5a + b. Entonces:
El sistema, restando (I) de (II):
2·2 + b = 4 → b = 0
El trozo del medio es f(x) = 2x, y el control es reemplazar en las dos condiciones: 2·2 = 4 ✓ y 2·5 = 10 ✓.
Lo que hay que ver. Las dos racionales tenían una discontinuidad evitable escondida —en x = 2 y en x = 5— y el ejercicio usa justamente el valor que «faltaba» para pegar la recta. La recta y = 2x pasa por (2, 4) y por (5, 10), que son exactamente los dos agujeros.
La segunda pregunta: con a = 1 y b = 1. Ahí la recta es y = x + 1, y en x = 2:
f(2) = 2 + 1 = 3 y límx→2⁺ f(x) = 3
Los dos límites laterales existen, son finitos y son distintos: eso es una discontinuidad de salto finito, de amplitud 4 − 3 = 1. No es evitable: no hay forma de redefinir f(2) que arregle las dos puntas a la vez.
Dónde se pierde el punto: plantear la continuidad reemplazando x = 2 en la racional. No se puede: ahí da 0/0. El límite lateral se calcula simplificando primero, y ese número es el que tiene que igualar la recta.
Dónde se cae la mayoría
- Chequear solo que el límite exista y olvidarse de compararlo con f(x₀).
- Decir que una función "es continua" sin aclarar dónde. Siempre es continua en un punto o en un conjunto.
- Creer que si f(x₀) existe, ya es continua ahí.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Continuidad →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La que tiene que pegar, y una raíz que existe25 puntos · resuelto paso a paso
- Segundo parcial — La derivada por definición25 puntos · resuelto paso a paso
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