Análisis Matemático I (66) · Unidad 2 — Límites y continuidad
Límites en un punto
Un límite en x₀ no pregunta cuánto vale f en x₀, sino a qué valor se acerca f cuando x se acerca a x₀. Son dos preguntas distintas, y ahí está toda la gracia del tema.
La explicación
El punto x₀ ni siquiera tiene que estar en el dominio
lím(x→x₀) f(x) = L significa: acercándome a x₀ (por izquierda y por derecha, pero sin llegar), los valores de f se acercan a L. Lo que pase exactamente en x₀ no participa del cálculo. Por eso tiene sentido preguntar el límite en un punto donde la función no está definida.
Cuando no hay indeterminación
Si al reemplazar sale un número, ese es el límite. El álgebra de límites permite hacerlo término a término: el límite de una suma es la suma de los límites, lo mismo con producto y cociente (siempre que el denominador no dé 0).
Las indeterminaciones y cómo destrabarlas
Si al reemplazar sale 0/0, no significa que el límite no exista: significa que hay que reescribir la expresión. Las tres técnicas del curso:
- Factorizar y cancelar — cuando arriba y abajo son polinomios. El factor que se cancela es exactamente el que causaba el 0/0.
- Multiplicar por el conjugado — cuando aparece una resta con raíces. El conjugado de √a − b es √a + b; al multiplicar, la raíz desaparece por diferencia de cuadrados.
- Límites notables — sen(x)/x, (eˣ−1)/x, ln(1+x)/x, todos con límite 1 en x→0 (los vemos en la unidad 3).
Límites laterales
Es decir: el límite existe solo si los dos laterales existen y coinciden. Hay que calcularlos por separado siempre que la función esté partida en x₀, o tenga un módulo que cambie de signo ahí.
Calcular lím(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Al reemplazar: (4−4)/(2−2) = 0/0. Indeterminado, así que hay que reescribir. El numerador es diferencia de cuadrados:
Como x → 2 pero x ≠ 2, el factor (x−2) no es cero y se puede cancelar:
Ahora sí reemplazo:
Fijate qué pasó: la función original y la recta x+2 son la misma cosa en todos lados menos en x=2, y como el límite ignora ese punto, alcanza con mirar la recta.
El control con una tabla
La forma más barata de confirmar un límite es acercarse por los dos lados y ver a dónde va:
x = 1,99 → 3,99 x = 2,01 → 4,01
Los dos lados apuntan al mismo número, 4. Eso no reemplaza a la cuenta —una tabla nunca demuestra un límite—, pero atrapa al instante un error de factoreo o de signo, y además muestra que los límites laterales coinciden, que es la condición para que el límite exista.
Lo que 0/0 sí significa y lo que no
Que la sustitución dé 0/0 no quiere decir que el límite sea 0, ni 1, ni que no exista: quiere decir que esa cuenta no decide y hay que reescribir. Por eso se llama indeterminación y no resultado. Acá dio 4; cambiando el numerador por (x − 2)² daría 0, y por (x − 2) en el denominador al cuadrado se iría a infinito. Las tres empiezan igual.
Calcular lím(x→3) (√(x + 1) − 2)/(x − 3) y lím(x→1) (x³ − 1)/(x² + x − 2). Indicar en cada caso qué indeterminación aparece y cómo se salva.
Los dos son 0/0, pero se salvan con herramientas distintas: el primero con el conjugado, el segundo con factoreo. Reconocer cuál va con cuál es la mitad del ejercicio.
Primer límite: hay una resta con raíz, entonces va el conjugado. Se multiplica y se divide por (√(x+1) + 2):
Arriba queda una diferencia de cuadrados, que es justamente lo que hace desaparecer la raíz:
Ahora sí se simplifica el (x − 3), que era el que causaba el 0/0:
Segundo límite: todo son polinomios, entonces va factoreo. Arriba hay una diferencia de cubos; abajo, una cuadrática con raíces 1 y −2:
x² + x − 2 = (x − 1)·(x + 2)
El (x − 1) aparece en los dos, y tenía que aparecer: si en x = 1 los dos dan cero, los dos son divisibles por (x − 1). Eso es el teorema del resto trabajando a favor.
Qué se simplificó y qué no. En los dos casos se tachó el factor que se anulaba, y lo que quedó ya se pudo evaluar directo. Esa es la estructura de todo límite 0/0 de este tipo: la indeterminación estaba en un factor común, no en la función.
Control numérico del primero, por si dudás de la cuenta:
Cómo elegir el método. Si hay raíces en una resta, conjugado. Si son polinomios, factoreo. Si hay senos o cosenos con el argumento tendiendo a cero, el límite notable (unidad 3). Si nada de eso, L'Hôpital, que llega recién en la unidad 5.
Dónde se pierde el punto: multiplicar por el conjugado y olvidarse de dejarlo escrito en el denominador. La cuenta de arriba se simplifica, pero el (√(x+1) + 2) queda abajo y es el que después vale 4.
Dónde se cae la mayoría
- Contestar que el límite no existe apenas aparece 0/0. Es al revés: 0/0 es la señal de que hay trabajo por hacer.
- Calcular un solo lateral cuando la función tiene módulo o está partida en ese punto.
- Cancelar mal: (x−2) se cancela con (x−2), no con (2−x) — ese cambia de signo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Límites en un punto →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un triángulo con dos soluciones y tres límites25 puntos · resuelto paso a paso
- Primer parcial — La que tiene que pegar, y una raíz que existe25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Límites y continuidad