Análisis Matemático I (66) · Unidad 2 — Límites y continuidad
Límites en el infinito y asíntotas horizontales
Cuando x se va a infinito, lo único que importa es el término que crece más rápido. Todo lo demás se vuelve despreciable, y el límite se decide comparando "quién gana".
La explicación
Qué se está preguntando
Cuando x se va a +∞ o a −∞, la pregunta es a qué se parece la función lejos del origen. La respuesta puede ser un número (y entonces hay asíntota horizontal), infinito, o nada (el límite puede no existir, como en sen(x)).
Cocientes de polinomios: gana el grado
Lo único que importa es el término que crece más rápido arriba y abajo. Comparando grados hay tres casos:
grados iguales → el cociente de los coeficientes principales
grado arriba > grado abajo → ±∞ (no hay asíntota horizontal)
La técnica formal, que es la que hay que escribir: dividir arriba y abajo por la mayor potencia del denominador. Todo lo que quede como k/xn se va a cero y sobra el caso que corresponda.
Asíntota oblicua
Cuando el grado de arriba supera al de abajo en exactamente 1, no hay asíntota horizontal pero sí una oblicua. Sale de dividir los polinomios:
El cociente es una recta y el otro término se va a cero, así que la recta es la asíntota. Si el grado de arriba supera al de abajo en 2 o más, no hay asíntota de ninguna clase: la función se va a infinito más rápido que cualquier recta.
Cuando hay raíces
Acá aparece la indeterminación ∞ − ∞, y la herramienta es multiplicar y dividir por el conjugado. Con eso la resta se convierte en un cociente y se vuelve al caso anterior.
Hay un detalle de signo que se cobra caro: al sacar una x de adentro de una raíz cuadrada,
Por eso los límites en +∞ y en −∞ de una misma función pueden dar distinto, y una función puede tener dos asíntotas horizontales diferentes, una para cada lado. Es el caso típico de las funciones con módulo o con raíz de un polinomio de grado par.
Órdenes de crecimiento
Cuando compiten funciones de distinta familia, el resultado lo decide esta jerarquía, de más lento a más rápido:
O sea: cualquier potencia le gana al logaritmo, y cualquier exponencial con base mayor que 1 le gana a cualquier potencia, por más grande que sea el exponente. Un cociente entre dos de estas familias tiende a 0 o a ∞ según quién esté abajo, y saberlo de memoria ahorra media hoja de cuentas.
Asíntota horizontal, con precisión
La recta y = L es asíntota horizontal si el límite de f cuando x tiende a +∞ (o a −∞) vale L. Dos aclaraciones que se toman:
- Una función puede cruzar su asíntota horizontal, incluso infinitas veces. La asíntota describe la tendencia, no una barrera.
- Puede haber a lo sumo dos, una por cada lado, y pueden ser distintas.
Calcular lím(x→+∞) (√(x² + 3x) − x) y decir qué asíntotas horizontales tiene esa función.
Paso 1: identificar la indeterminación. Los dos términos se van a +∞, así que es ∞ − ∞. No se puede reemplazar.
Paso 2: el conjugado. Multiplico y divido por la suma:
Arriba queda una diferencia de cuadrados, que es la gracia del truco:
Paso 3: ahora es un cociente. Divido arriba y abajo por x, que es la mayor potencia. Como x → +∞, adentro de la raíz sale |x| = x:
Paso 4: reemplazar. El 3/x se va a 0:
Control numérico. Con x = 1.000.000 la expresión original da 1,4999989 ✔ Vale la pena hacerlo: si el resultado hubiera sido 3 o 0, el control lo detectaba enseguida.
Y del otro lado. Acá está lo interesante. Para x → −∞ el dominio existe (x² + 3x ≥ 0 se cumple para x ≤ −3), pero ahora √(x²) = |x| = −x, y además −x es positivo. Los dos términos se suman en vez de cancelarse:
Así que f tiene asíntota horizontal y = 3/2 sólo del lado derecho, y del izquierdo se va a infinito.
La moraleja. Calcular un límite en +∞ y suponer que en −∞ da lo mismo es el error más caro del tema. Cada vez que aparece una raíz cuadrada o un módulo, los dos lados hay que hacerlos por separado.
Calcular lím(x→+∞) (3x + √(x² + 1))/(x − 5) y lím(x→−∞) de la misma expresión. Decir cuántas asíntotas horizontales tiene esa función y cuáles son.
Los dos límites son del tipo ∞/∞, así que el método es el de siempre: dividir arriba y abajo por la potencia más grande, que acá es x. Lo que cambia entre los dos límites es un detalle que decide el resultado.
El límite en +∞. Al meter la x adentro de la raíz hay que elevarla al cuadrado:
El límite en −∞, y acá está todo el ejercicio. Cuando x es negativo, √(x²) no es x: es |x| = −x. Entonces:
El signo menos cambia la cuenta entera:
Por qué pasa esto. Una raíz cuadrada siempre devuelve algo positivo o cero. Si x es negativo y dividís algo positivo por x, el resultado es negativo. Escribir √(x²) = x es verdadero solo para x ≥ 0; en general √(x²) = |x|.
Control numérico, que en el parcial se puede hacer al margen:
x = −10.000.000 → f(x) ≈ 1,999999
Las asíntotas horizontales. Cada límite finito en un infinito da una:
y = 2, por izquierda
Dos asíntotas horizontales distintas. Eso es perfectamente posible —una función puede tener hasta dos— y es la respuesta que el ejercicio busca. Si contestaste «tiene asíntota y = 4», hiciste un solo límite.
Además tiene una vertical en x = 5, donde se anula el denominador y el numerador no: ahí f tiende a ±∞. El ejercicio no la pedía, pero conviene verla para no confundirse de pregunta.
Dónde se pierde el punto: hacer un solo límite y suponer que en −∞ da lo mismo. Cada vez que hay una raíz de un polinomio de grado par, los dos infinitos dan distinto y hay que hacer los dos.
Dónde se cae la mayoría
- Tratar √(x²) como x cuando x → −∞. Es −x, y ahí se va el signo del resultado.
- Suponer que si hay asíntota horizontal por un lado, es la misma por el otro.
- Decir que el límite "es infinito" y por lo tanto "existe". En este curso, si da ±∞ se dice que el límite no existe (aunque se escriba = +∞ para describir el comportamiento).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Límites en el infinito y asíntotas horizontales →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La homográfica de punta a punta25 puntos · resuelto paso a paso
- Segundo parcial — Estudio de una racional25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
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