Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales

Funciones homográficas

Toda homográfica es la hipérbola 1/x movida de lugar. Si la escribís como A/(x−B) + C, las dos asíntotas te las está diciendo la fórmula: x = B y y = C.

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La explicación

Las dos formas de escribirla

Una homográfica es un cociente de dos polinomios de grado 1:

f(x) = (ax + b)/(cx + d), con ad − bc ≠ 0

La condición ad − bc ≠ 0 está para que no degenere: si fuera 0, el numerador sería un múltiplo del denominador y la función sería una constante, no una hipérbola.

Pero esa forma no sirve para graficar. La que sirve es la forma corrida:

f(x) = A/(x − B) + C, con A ≠ 0

Escrita así, el gráfico es el de 1/x movido B unidades a la derecha y C hacia arriba. Nada más. Por eso vale la pena aprender a pasar de una forma a la otra.

Cómo se pasa de una a la otra

Se divide el numerador por el denominador, igual que dividís números.
Ejemplo: (3x − 5)/(x − 2). Buscás escribir el numerador como algo·(x − 2) + resto:
3x − 5 = 3(x − 2) + 1
Entonces f(x) = [3(x − 2) + 1]/(x − 2) = 3 + 1/(x − 2).
O sea A = 1, B = 2, C = 3.

El truco para hacerlo rápido: el C siempre es el cociente de los coeficientes principales, a/c. En el ejemplo, 3/1 = 3. Y el B es el cero del denominador.

Todo lo que se lee de la forma corrida

Dominio: ℝ − {B}. El único valor prohibido es el que anula el denominador.
Asíntota vertical: x = B.
Asíntota horizontal: y = C. Cuando x se va a ±∞, el término A/(x − B) se hace despreciable y sobra C.
Imagen: ℝ − {C}. Nunca alcanza el valor de la asíntota horizontal, porque A/(x − B) no vale 0 nunca.
Ceros: se resuelve A/(x − B) = −C. Si C = 0 no hay ceros.
Monotonía: si A > 0 decrece en las dos ramas; si A < 0, crece en las dos. Nunca es monótona en todo el dominio: la asíntota parte el gráfico en dos pedazos y entre uno y otro no se puede comparar.

Por qué la cátedra las da justo acá

Porque son la forma más barata de ver los dos límites que vienen en la unidad siguiente: acercándote a B se ve el límite en un punto que se va a infinito, y yéndote a infinito se ve el límite en el infinito. La hipérbola es el dibujo donde las dos ideas conviven.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Dada f(x) = (2x + 1)/(x − 1), hallar dominio, asíntotas, imagen y ceros, y decir cómo se obtiene su gráfico a partir del de 1/x.

Primero paso a la forma corrida. Escribo el numerador en términos de (x − 1):

2x + 1 = 2(x − 1) + 3

Entonces

f(x) = [2(x − 1) + 3]/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)

O sea A = 3, B = 1, C = 2. Ahora todo se lee directo:

Dom(f) = ℝ − {1}
Asíntota vertical: x = 1
Asíntota horizontal: y = 2
Im(f) = ℝ − {2}

Los ceros: f(x) = 0 significa 2x + 1 = 0, así que x = −1/2. Control con la forma corrida: 2 + 3/(−1/2 − 1) = 2 + 3/(−3/2) = 2 − 2 = 0 ✔

Y el gráfico es el de 1/x estirado por 3, corrido 1 a la derecha y 2 hacia arriba. Como A = 3 > 0, las dos ramas decrecen, igual que las de 1/x.

Control barato: evaluá en un punto de cada lado de la asíntota. f(2) = 5 (arriba de y = 2) y f(0) = −1 (abajo). Eso confirma de qué lado va cada rama, que es donde más se equivoca la gente al dibujar.

Y uno del nivel del parcial

Hallar la función homográfica f(x) = (a·x + b)/(x + c) que tiene asíntota vertical en x = 2, asíntota horizontal en y = 3 y cuyo gráfico pasa por el punto (0, 1). Dar después su dominio, su imagen y su cero.

Este ejercicio va al revés del de arriba: en vez de darte la función y pedirte las asíntotas, te da las asíntotas y te pide la función. Cada dato del enunciado determina una de las tres letras, y conviene ir en ese orden.

La asíntota vertical determina c. La vertical está donde se anula el denominador:

x + c = 0 en x = 2 → 2 + c = 0 → c = −2

La asíntota horizontal determina a. Para una homográfica, la horizontal es el cociente de los coeficientes principales. Acá el denominador tiene coeficiente 1:

lím_x→∞ (a·x + b)/(x − 2) = a/1 = a → a = 3

El punto determina b. Con a y c ya puestos, se exige f(0) = 1:

f(0) = (3·0 + b)/(0 − 2) = b/(−2) = 1 → b = −2

f(x) = (3x − 2)/(x − 2)

El control es reconstruir los tres datos, uno por uno:

denominador cero en x = 2 ✓
lím_x→∞ f(x) = 3 ✓
f(0) = (−2)/(−2) = 1 ✓

Dominio e imagen. Salen directo de las asíntotas, y es lo que hace que valga la pena calcularlas primero:

Dom(f) = ℝ − {2}
Im(f) = ℝ − {3}

El 3 sale de la imagen porque la horizontal es un valor al que f se acerca pero no alcanza nunca: si f(x) = 3, quedaría 3x − 2 = 3x − 6, o sea −2 = −6, absurdo.

El cero es donde se anula el numerador (el denominador ahí no molesta):

3x − 2 = 0 → x = 2/3

Control final de coherencia: 2/3 está en el dominio (no es 2) ✓, y el 0 está en la imagen (no es 3) ✓. Si el cero te hubiera dado justo 2, algo estaba mal: la función no puede valer cero donde no está definida.

Dónde se pierde el punto: poner c = 2 mirando el signo al revés. La asíntota vertical es x = −c, no x = c; conviene siempre igualar el denominador a cero y despejar, en vez de recordar la fórmula.

Dónde se cae la mayoría

Leer la asíntota horizontal como y = 0 sin haber pasado a la forma corrida. En (3x−5)/(x−2) la asíntota es y = 3, no y = 0.
Decir que la imagen es ℝ. Le falta exactamente el valor C.
Afirmar que la función es decreciente "en todo su dominio". Decrece en cada rama por separado; el dominio no es un intervalo.
Confundir el cero de la función con el de la asíntota: el cero sale de igualar f(x) = 0, no de anular el denominador.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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