Análisis Matemático I · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Funciones homográficas
Toda homográfica es la hipérbola 1/x movida de lugar. Si la escribís como A/(x−B) + C, las dos asíntotas te las está diciendo la fórmula: x = B y y = C.
La explicación
Las dos formas de escribirla
Una homográfica es un cociente de dos polinomios de grado 1:
La condición ad − bc ≠ 0 está para que no degenere: si fuera 0, el numerador sería un múltiplo del denominador y la función sería una constante, no una hipérbola.
Pero esa forma no sirve para graficar. La que sirve es la forma corrida:
Escrita así, el gráfico es el de 1/x movido B unidades a la derecha y C hacia arriba. Nada más. Por eso vale la pena aprender a pasar de una forma a la otra.
Cómo se pasa de una a la otra
Ejemplo: (3x − 5)/(x − 2). Buscás escribir el numerador como algo·(x − 2) + resto:
3x − 5 = 3(x − 2) + 1
Entonces f(x) = [3(x − 2) + 1]/(x − 2) = 3 + 1/(x − 2).
O sea A = 1, B = 2, C = 3.
El truco para hacerlo rápido: el C siempre es el cociente de los coeficientes principales, a/c. En el ejemplo, 3/1 = 3. Y el B es el cero del denominador.
Todo lo que se lee de la forma corrida
- Dominio: ℝ − {B}. El único valor prohibido es el que anula el denominador.
- Asíntota vertical: x = B.
- Asíntota horizontal: y = C. Cuando x se va a ±∞, el término A/(x − B) se hace despreciable y sobra C.
- Imagen: ℝ − {C}. Nunca alcanza el valor de la asíntota horizontal, porque A/(x − B) no vale 0 nunca.
- Ceros: se resuelve A/(x − B) = −C. Si C = 0 no hay ceros.
- Monotonía: si A > 0 decrece en las dos ramas; si A < 0, crece en las dos. Nunca es monótona en todo el dominio: la asíntota parte el gráfico en dos pedazos y entre uno y otro no se puede comparar.
Por qué la cátedra las da justo acá
Porque son la forma más barata de ver los dos límites que vienen en la unidad siguiente: acercándote a B se ve el límite en un punto que se va a infinito, y yéndote a infinito se ve el límite en el infinito. La hipérbola es el dibujo donde las dos ideas conviven.
Dada f(x) = (2x + 1)/(x − 1), hallar dominio, asíntotas, imagen y ceros, y decir cómo se obtiene su gráfico a partir del de 1/x.
Primero paso a la forma corrida. Escribo el numerador en términos de (x − 1):
Entonces
O sea A = 3, B = 1, C = 2. Ahora todo se lee directo:
Asíntota vertical: x = 1
Asíntota horizontal: y = 2
Im(f) = ℝ − {2}
Los ceros: f(x) = 0 significa 2x + 1 = 0, así que x = −1/2. Control con la forma corrida: 2 + 3/(−1/2 − 1) = 2 + 3/(−3/2) = 2 − 2 = 0 ✔
Y el gráfico es el de 1/x estirado por 3, corrido 1 a la derecha y 2 hacia arriba. Como A = 3 > 0, las dos ramas decrecen, igual que las de 1/x.
Control barato: evaluá en un punto de cada lado de la asíntota. f(2) = 5 (arriba de y = 2) y f(0) = −1 (abajo). Eso confirma de qué lado va cada rama, que es donde más se equivoca la gente al dibujar.
Dónde se cae la mayoría
- Leer la asíntota horizontal como y = 0 sin haber pasado a la forma corrida. En (3x−5)/(x−2) la asíntota es y = 3, no y = 0.
- Decir que la imagen es ℝ. Le falta exactamente el valor C.
- Afirmar que la función es decreciente "en todo su dominio". Decrece en cada rama por separado; el dominio no es un intervalo.
- Confundir el cero de la función con el de la asíntota: el cero sale de igualar f(x) = 0, no de anular el denominador.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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