Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales

Funciones racionales

Una racional es un cociente de polinomios. Todo lo raro que hace (asíntotas, agujeros) pasa donde el denominador se anula, así que el análisis siempre arranca factorizando arriba y abajo.

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La explicación

Dominio

El dominio es ℝ menos los ceros del denominador. Punto. Pero cuáles de esos puntos generan una asíntota vertical y cuáles solo un agujero depende de si el factor también está arriba:

Si al simplificar el factor desaparece del denominador → hay un agujero (discontinuidad evitable): el gráfico sigue de largo, solo le falta un punto.
Si sigue abajo después de simplificar → hay una asíntota vertical: la función se dispara a ±∞.
Mirá el denominador que queda, no si hubo cancelación: en (x − 2)/(x − 2)² se cancela un (x − 2) y abajo todavía queda otro, así que ahí hay asíntota.

Esta distinción vuelve a aparecer sí o sí en la unidad de continuidad, así que conviene entenderla bien ahora.

Simplificar sin hacer trampa

Podés cancelar factores comunes, pero el dominio original no cambia. Si f(x) = (x²−1)/(x−1) se simplifica a x+1, el gráfico es la recta x+1 con un agujero en x = 1, no la recta entera.

Los ceros y el signo

Una fracción vale cero cuando se anula el de arriba, nunca el de abajo. Pero con la misma advertencia de recién: vale sólo si ese valor está en el dominio. En (x²−1)/(x−1) el numerador se anula en x = 1 y en x = −1, y sin embargo x = 1 no es un cero: ahí la función no existe.

El signo se lee factorizando y mirando cuántos factores son negativos en cada tramo: si son una cantidad par, la fracción da positiva; si son impar, negativa. Da lo mismo que el factor esté arriba o abajo, porque dividir por un negativo cambia el signo igual que multiplicar.

Cómo se arma la tabla de signos. Se marcan en la recta todos los ceros del numerador y todos los del denominador, se toma un valor de prueba en cada tramo, y se mira factor por factor. Con f(x) = (x + 3)/((x − 2)(x + 2)) las marcas son −3, −2 y 2, y la cuenta de negativos va bajando de 3 a 0:

x < −3         (−)(−)(−) f < 0
−3 < x < −2   (+)(−)(−) f > 0
−2 < x < 2     (+)(−)(+) f < 0
x > 2          (+)(+)(+) f > 0

Tres negativos y uno: impar, da negativa. Dos y ninguno: par, da positiva.

El signo cambia al cruzar cada marca, tanto en un cero como en una asíntota. Por eso las asíntotas verticales entran en la tabla aunque la función no valga nada ahí: separan tramos igual que un cero.

Qué hace la función cuando x se va lejos

Acá no hay que despejar nada: alcanza con comparar los grados de arriba y de abajo. Son cuatro casos y se deciden de un vistazo.

Arriba de grado menor → asíntota horizontal y = 0. El denominador crece más rápido y la fracción se aplasta contra el eje: (2x+1)/(x²−3) → 0.
Grados iguales → asíntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales, y nada más: los términos de menor grado dejan de pesar. En (3x²−1)/(2x²+x) la asíntota es y = 3/2, no y = 3 —que es olvidarse del 2 de abajo— ni y = −1/2, que sale de mirar los términos equivocados.
Arriba exactamente un grado más → no hay horizontal, hay asíntota oblicua, y se saca dividiendo: el cociente de la división es la recta. En (x²+1)/(x−1) la división da x + 1 con resto 2, así que f(x) = (x+1) + 2/(x−1) y la oblicua es y = x + 1. El resto sobre el denominador es lo que se va a cero, y por eso la curva se pega a esa recta.
Arriba dos grados o más → no hay ninguna de las dos. La función se dispara y ninguna recta la acompaña.

Dos cosas que conviene tener claras desde ahora.
La horizontal se puede cruzar, y es lo que más sorprende. No es una pared: dice qué pasa lejos, y en el medio la función puede pasarle por arriba y por abajo las veces que quiera. La vertical no se cruza nunca, porque ahí la función directamente no está definida.

Horizontal y oblicua nunca conviven: o los grados empatan o uno gana, no las dos cosas. Si te salieron las dos, revisá los grados. Lo que sí puede pasar es que la horizontal por +∞ y por −∞ sean distintas, pero eso con racionales no ocurre: el cociente de grados es el mismo por los dos lados.

Operar con fracciones algebraicas

Es exactamente lo mismo que con fracciones numéricas: para sumar o restar hay que llevar a denominador común; para multiplicar se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador (nada de cruzado: eso es otra cosa); para dividir se invierte la segunda y se multiplica. El único consejo real es factorizar todo antes de operar: casi siempre aparecen factores que se cancelan y la cuenta se vuelve la mitad de larga.

Inecuaciones racionales

Nunca multipliques en cruz para sacarte el denominador: no sabés su signo, y si es negativo hay que dar vuelta la desigualdad. El método correcto es pasar todo a un lado, unificar en una sola fracción, y después armar la tabla de signos de arriba: es exactamente la misma, y la respuesta son los tramos que dan del signo que la inecuación pide.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Simplificar f(x) = (x² − x − 2)/(x² − 1) e indicar su dominio.

Factorizo arriba y abajo:

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

El dominio se lee antes de simplificar: el denominador se anula en x = 1 y x = −1, así que

Dom(f) = ℝ − {−1, 1}

Ahora sí cancelo el factor (x + 1):

f(x) = (x − 2)/(x − 1), con x ≠ −1

Interpretación: en x = 1 hay una asíntota vertical (el factor no se canceló) y en x = −1 hay un agujero (se canceló). Dos comportamientos completamente distintos aunque los dos salgan de "el denominador se anula".

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = ((x³ − 8)/(x² − 4)) · ((x + 2)/(x² + 2x + 4)). Simplificar la expresión, indicar el dominio de f, y decidir si f es la misma función que g(x) = 1. Justificar.

La regla de oro antes de simplificar nada: el dominio se lee de la expresión original, no de la simplificada. Así que primero se anota qué no puede valer x, y después se opera.

Las prohibiciones de la expresión original. Hay dos denominadores:

x² − 4 ≠ 0 → x ≠ 2 y x ≠ −2
x² + 2x + 4 ≠ 0 → Δ = 4 − 16 = −12 < 0, no tiene raíces reales: no prohíbe nada

Dom(f) = ℝ − {2 ; −2}

Ahora sí, a factorizar. El numerador de la primera fracción es una diferencia de cubos, y ahí aparece justo el trinomio del otro denominador:

x³ − 8 = (x − 2)·(x² + 2x + 4)
x² − 4 = (x − 2)·(x + 2)

Se reemplaza todo y se tacha:

f(x) = [(x−2)(x²+2x+4) / ((x−2)(x+2))] · [(x+2) / (x²+2x+4)]

Se va el (x − 2), se va el (x + 2) y se va el trinomio. Queda:

f(x) = 1, para todo x del dominio

Y acá está la pregunta que vale el punto: ¿f es igual a g(x) = 1?

No. Dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio y la misma fórmula. Estas coinciden en la fórmula pero no en el dominio:

Dom(f) = ℝ − {2 ; −2}
Dom(g) = ℝ

Qué se ve en el gráfico. El de g es la recta horizontal y = 1, entera. El de f es esa misma recta pero con dos agujeros, en x = 2 y x = −2. Son dos puntos donde f no está definida, aunque el límite ahí valga 1.

Esas dos son discontinuidades evitables, que es el nombre que van a tener en la unidad de continuidad: el límite existe y vale 1, pero la función no está definida. Se «evitan» completando f(2) = 1 y f(−2) = 1, y ahí sí f pasa a ser g.

Dónde se pierde el punto: simplificar primero y después leer el dominio de la expresión simplificada. Ahí el dominio da ℝ y se pierden los dos agujeros, que es exactamente lo que el ejercicio está evaluando.

Dónde se cae la mayoría

Multiplicar en cruz en una inecuación racional sin saber el signo del denominador.
Simplificar y olvidarse de excluir el punto que se canceló.
Sumar fracciones sumando numeradores y denominadores por separado.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — La homográfica de punta a punta25 puntos · resuelto paso a paso
Segundo parcial — Estudio de una racional25 puntos · resuelto paso a paso

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