Análisis Matemático I · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales

Funciones racionales

Una racional es un cociente de polinomios. Todo lo raro que hace (asíntotas, agujeros) pasa donde el denominador se anula, así que el análisis siempre arranca factorizando arriba y abajo.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Dominio

El dominio es ℝ menos los ceros del denominador. Punto. Pero cuáles de esos puntos generan una asíntota vertical y cuáles solo un agujero depende de si el factor también está arriba:

Si el factor se cancela con el numerador → hay un agujero (discontinuidad evitable): el gráfico sigue de largo, solo le falta un punto.
Si no se cancela → hay una asíntota vertical: la función se dispara a ±∞.

Esta distinción vuelve a aparecer sí o sí en la unidad de continuidad, así que conviene entenderla bien ahora.

Simplificar sin hacer trampa

Podés cancelar factores comunes, pero el dominio original no cambia. Si f(x) = (x²−1)/(x−1) se simplifica a x+1, el gráfico es la recta x+1 con un agujero en x = 1, no la recta entera.

Operar con fracciones algebraicas

Es exactamente lo mismo que con fracciones numéricas: para sumar o restar hay que llevar a denominador común; para multiplicar se multiplica cruzado y se simplifica; para dividir se invierte la segunda y se multiplica. El único consejo real es factorizar todo antes de operar: casi siempre aparecen factores que se cancelan y la cuenta se vuelve la mitad de larga.

Inecuaciones racionales

Nunca multipliques en cruz para sacarte el denominador: no sabés su signo, y si es negativo hay que dar vuelta la desigualdad. El método correcto es pasar todo a un lado, unificar en una sola fracción, y después estudiar el signo del numerador y del denominador por separado con la regla de los signos.

Ejemplo resuelto

Simplificar f(x) = (x² − x − 2)/(x² − 1) e indicar su dominio.

Factorizo arriba y abajo:

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

El dominio se lee antes de simplificar: el denominador se anula en x = 1 y x = −1, así que

Dom(f) = ℝ − {−1, 1}

Ahora sí cancelo el factor (x + 1):

f(x) = (x − 2)/(x − 1), con x ≠ −1

Interpretación: en x = 1 hay una asíntota vertical (el factor no se canceló) y en x = −1 hay un agujero (se canceló). Dos comportamientos completamente distintos aunque los dos salgan de "el denominador se anula".

Dónde se cae la mayoría

Multiplicar en cruz en una inecuación racional sin saber el signo del denominador.
Simplificar y olvidarse de excluir el punto que se canceló.
Sumar fracciones sumando numeradores y denominadores por separado.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Funciones racionales →

Ver todos los temas de Análisis I