Análisis Matemático I · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Funciones polinómicas y raíz cuadrada
Con un polinomio factorizado sabés todo: dónde vale cero, qué signo tiene en cada tramo y cómo es su gráfico a grandes rasgos. Factorizar bien es la habilidad que más rinde en toda la materia.
La explicación
Potencias xⁿ: pares e impares
El exponente decide la forma:
- n par (x², x⁴, …): gráfico tipo parábola, simétrico respecto del eje y, imagen [0, +∞). Son funciones pares: f(−x) = f(x).
- n impar (x³, x⁵, …): gráfico que va de −∞ a +∞, simétrico respecto del origen, imagen ℝ. Son funciones impares: f(−x) = −f(x).
Esa distinción decide muchas cosas de un vistazo: sólo las impares son inyectivas en todo ℝ, y por lo tanto sólo ellas se pueden invertir sin restringir el dominio.
Grado, coeficiente principal y los extremos
Lejos del origen, un polinomio se comporta como su término de mayor grado: todo lo demás es despreciable. Con eso se predicen los dos extremos sin calcular nada:
grado par, a < 0: −∞ de los dos lados
grado impar, a > 0: −∞ a la izquierda, +∞ a la derecha
grado impar, a < 0: al revés
Consecuencia útil: todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, porque va de −∞ a +∞ y en algún momento tiene que cruzar. Es un argumento de Bolzano que conviene tener a mano.
Encontrar las raíces
Para grado 2 está la fórmula. De grado 3 en adelante, la herramienta es el teorema de Gauss: si el polinomio tiene coeficientes enteros, toda raíz racional p/q cumple que p divide al término independiente y q al coeficiente principal.
Encontrada una raíz c, el teorema del resto dice que P(x) es divisible por (x − c). Dividís, bajás un grado, y seguís con el cociente hasta llegar a una cuadrática.
El teorema del resto también sirve solo: el resto de dividir P(x) por (x − c) es P(c). Así que para saber si (x − 2) divide a P no hace falta dividir, alcanza con evaluar P(2).
Multiplicidad: qué hace el gráfico en cada raíz
Si un factor aparece elevado a una potencia, esa es su multiplicidad, y decide cómo se comporta el gráfico ahí:
- Multiplicidad impar: el gráfico cruza el eje x y la función cambia de signo.
- Multiplicidad par: el gráfico toca y rebota, y la función no cambia de signo.
Esto es lo que más se equivoca al armar la tabla de signos: se asume que el signo se alterna en cada raíz, y con una raíz doble no se alterna.
Ceros y regla de los signos
Con el polinomio factorizado, las raíces parten la recta en intervalos. En cada uno se elige un punto de prueba y se mira el signo. Dos consejos:
- Elegí puntos cómodos (0, 1, −1, 10) y nunca una raíz, donde el producto da 0 y no informa nada.
- Alcanza con mirar el signo de cada factor, no hace falta hacer la cuenta completa.
Raíz cuadrada
Dos cosas que se confunden:
- √(x²) = |x|, no x. Y √x · √x = x sólo donde x ≥ 0.
- La raíz de índice impar (³√) está definida para todo real, incluidos los negativos. La restricción es sólo para índice par.
Para hallar el dominio de una raíz cuyo radicando es un polinomio, se plantea el radicando ≥ 0 y se resuelve con la regla de los signos. Ése es el nexo entre las dos mitades de este tema, y es un ejercicio de parcial casi seguro.
El gráfico de √x es media parábola acostada, y por eso: es la inversa de x² restringida a [0, +∞). Los dos gráficos son simétricos respecto de y = x, y la restricción es lo que hace posible invertir.
Factorizar P(x) = x³ − 4x² + x + 6, hallar sus ceros y estudiar su signo. Después, hallar el dominio de f(x) = √(P(x)).
Buscar la primera raíz. El coeficiente principal es 1, así que por Gauss las raíces racionales están entre los divisores de 6:
Pruebo con el teorema del resto, que es sólo evaluar:
P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0 ✔
Entonces (x + 1) divide a P.
Bajar el grado. Dividiendo, el cociente es x² − 5x + 6, así que
Y la cuadrática ya se factoriza con la fórmula o a ojo: dos números que sumen 5 y multipliquen 6 son 2 y 3.
Control. Reemplazo en un punto que no sea raíz, por ejemplo x = 0:
Los ceros son −1, 2 y 3, los tres de multiplicidad 1, así que en los tres el gráfico cruza y el signo se alterna.
Regla de los signos. Las tres raíces parten la recta en cuatro intervalos. Elijo un punto cómodo en cada uno y miro el signo de los tres factores:
x = 0: (+)(−)(−) = positivo
x = 2,5: (+)(+)(−) = negativo
x = 4: (+)(+)(+) = positivo
Control de coherencia: como el grado es impar y a = 1 > 0, tenía que ser negativo en −∞ y positivo en +∞, y lo es ✔ Y el signo se alterna en las cuatro regiones, que es lo que corresponde con tres raíces simples ✔
El dominio de la raíz. Hace falta P(x) ≥ 0, y eso es C⁺ más los ceros:
Los corchetes van cerrados porque en las raíces el radicando vale 0 y √0 = 0 existe. Contestar con paréntesis es el error de siempre acá.
Dónde se cae la mayoría
- Resolver x² ≥ 4 como x ≥ 2. Falta la rama negativa: la solución es (−∞,−2] ∪ [2,+∞).
- Confundir √(x−3) con √x − 3: el paréntesis cambia todo.
- Al analizar signos, evaluar puntos de prueba mal elegidos (por ejemplo, justo una raíz).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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