Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Función cuadrática
Toda parábola es la misma parábola y = x² estirada y corrida. Encontrar el vértice es encontrar dónde la corriste, y eso resuelve de una todos los problemas de máximos y mínimos que aparecen antes de que existan las derivadas.
La explicación
Tres formas de escribir lo mismo
canónica: f(x) = a(x − h)² + k
factorizada: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Cada una regala un dato distinto sin hacer cuentas: la polinómica la ordenada al origen (c = f(0)), la canónica el vértice (h, k), la factorizada las raíces. Elegir la forma correcta es la mitad del ejercicio: si te piden el vértice, pasá a canónica; si te piden los ceros, a factorizada.
El coeficiente a es el mismo en las tres y nunca desaparece. Si lo perdés al pasar de una a otra, el control es inmediato: f(0) tiene que dar lo mismo en todas.
De polinómica a canónica: completar cuadrados
1. Tomo la mitad del coeficiente de x: −6/2 = −3.
2. Escribo (x − 3)², que vale x² − 6x + 9: me pasé en 9.
3. Compenso: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.
Con a ≠ 1 hay que sacarlo primero como factor común de los dos primeros términos.
El vértice
No hace falta memorizar la fórmula de k: se calcula evaluando, y de paso eso verifica que h esté bien. Otro camino, útil cuando ya tenés las raíces: el vértice está en el punto medio entre ellas, porque la parábola es simétrica.
La recta x = h es el eje de simetría. De ahí sale algo que ahorra cuentas: f(h + d) = f(h − d) para cualquier d. Dos puntos a la misma distancia del eje tienen la misma altura.
Raíces y discriminante
- Δ > 0: dos raíces reales distintas. La parábola cruza el eje x dos veces.
- Δ = 0: una raíz doble. La parábola toca el eje sin cruzarlo, y ahí está el vértice.
- Δ < 0: ninguna raíz real. La parábola no toca el eje: queda entera arriba (si a > 0) o entera abajo (si a < 0).
Los ejercicios con parámetro casi siempre se resuelven mirando el discriminante: "hallar k para que tenga una sola raíz" es pedir Δ = 0, y "para que no corte al eje x" es pedir Δ < 0.
Imagen y monotonía
Las dos salen del vértice y del signo de a:
a < 0: Im = (−∞, k], máximo en h
Y la parábola decrece de un lado del vértice y crece del otro, nunca es monótona en todo ℝ. Si te piden un intervalo donde sea inyectiva, la respuesta es cualquiera que no cruce el eje de simetría.
Positividad y negatividad
Con las raíces en la mano es directo: entre las raíces la función tiene el signo contrario al de a, y afuera el mismo signo que a. Sin raíces reales, el signo es el de a en todo ℝ.
Por eso una inecuación cuadrática se resuelve factorizando, no despejando. x² − 6x + 5 > 0 no se resuelve "sacando raíz": se factoriza a (x−1)(x−5) > 0 y se aplica la regla de los signos.
Dónde aparece
Dos familias de problemas que se toman siempre:
- Tiro vertical: la altura en función del tiempo es cuadrática con a < 0, así que la altura máxima es el vértice y el instante de impacto es la raíz positiva.
- Optimización elemental: entre todos los rectángulos de perímetro fijo, el de área máxima. El área queda cuadrática en una sola variable y la respuesta es el vértice.
En los dos casos, el vértice no es un dato más: es la respuesta. Y conviene siempre chequear que caiga dentro del dominio que tiene sentido en el problema.
Estudiar f(x) = x² − 6x + 5: vértice, raíces, imagen y conjuntos de positividad, y escribirla en las tres formas.
Vértice.
k = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4
El vértice es (3, −4). Como a = 1 > 0, es un mínimo.
Forma canónica, completando cuadrados:
El vértice se lee ahí mismo: (3, −4), igual que antes ✔ Dos caminos independientes que coinciden.
Raíces. Con Δ = 36 − 20 = 16 > 0 hay dos:
Control por el eje de simetría: el punto medio entre 1 y 5 es 3, que es exactamente h ✔
Forma factorizada.
Control del coeficiente a: f(0) tiene que dar 5 en las tres formas. Polinómica: 5 ✔ Canónica: 9 − 4 = 5 ✔ Factorizada: (−1)(−5) = 5 ✔
Imagen. Como abre hacia arriba y el mínimo es −4:
Positividad y negatividad. Con a > 0, es negativa entre las raíces y positiva afuera:
Control final con tres puntos de prueba, uno por región:
Y un control de simetría gratis: f(0) y f(6) tienen que dar lo mismo, porque 0 y 6 están a la misma distancia del eje x = 3. Dan 5 los dos ✔
Hallar todos los valores de k para los que f(x) = x² − k·x + (k + 3) tiene una única raíz. Para el menor de esos k, escribir f en forma factorizada y canónica, dar el vértice y los conjuntos de positividad y negatividad.
«Una única raíz» es una condición sobre el discriminante, no sobre las raíces. Una cuadrática tiene una sola raíz —doble— exactamente cuando Δ = 0.
Se resuelve Δ = 0, que es otra cuadrática, ahora en k:
k = (4 ± √(16 + 48))/2 = (4 ± √64)/2 = (4 ± 8)/2
k = 6 o k = −2
Que haya dos valores de k no es contradictorio con que cada uno dé una sola raíz: son dos parábolas distintas, cada una apoyada en el eje x en un punto.
El menor es k = −2. Se reemplaza:
Forma factorizada. Es un trinomio cuadrado perfecto:
Forma canónica. Es la misma expresión leída como a·(x − xv)² + yv:
El vértice está sobre el eje x, que es justo lo que quiere decir tener una raíz doble. Control con la fórmula: xv = −b/2a = −2/2 = −1 ✓, y f(−1) = 0 ✓.
Los conjuntos de positividad y negatividad. Acá está la respuesta que casi nadie escribe bien. Un cuadrado nunca es negativo, y solo vale cero en un punto:
C⁰ = {−1}
C⁻ = ∅
El conjunto de negatividad es vacío, y eso hay que escribirlo, no dejarlo en blanco. Una parábola con raíz doble y ramas hacia arriba está toda por encima del eje salvo en el punto donde lo toca.
El otro valor, de yapa. Con k = 6 queda f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)², vértice (3 ; 0), mismo análisis corrido tres unidades. Si el ejercicio hubiera pedido el mayor k, la respuesta era esa.
Dónde se pierde el punto: confundir «una única raíz» con «Δ > 0» o con «no tiene raíces». Δ > 0 son dos raíces distintas, Δ < 0 son ninguna, Δ = 0 es una sola.
Dónde se cae la mayoría
- Usar h = −b/2a con el signo cambiado. Chequealo siempre evaluando: f(h) tiene que ser el valor más chico (o más grande) que ves en el gráfico.
- En la forma canónica a(x−h)²+k, leer el vértice en (−h, k). Si dice (x+3)², el vértice está en x = −3.
- Olvidarse del factor a al pasar a forma factorizada: si f(0) no da lo que debe, te falta el a.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Función cuadrática →Los otros temas de la unidad 1
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