Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Función módulo (valor absoluto)
|x| es la distancia de x al cero. Toda ecuación o inecuación con módulo se resuelve traduciéndola a "distancia", o partiendo en casos según el signo de lo que está adentro.
La explicación
La definición, que es una función partida
|x| = −x si x < 0
La segunda línea confunde: −x no es un número negativo si x ya era negativo. |−5| = −(−5) = 5. El módulo nunca devuelve algo negativo, y eso es lo único que hace: borra el signo.
La lectura geométrica es la que más rinde: |x| es la distancia de x al cero, y más en general
Con eso, muchos ejercicios se resuelven sin cuentas. |x − 3| < 2 dice "los x que están a menos de 2 de distancia del 3", o sea el intervalo (1, 5), y sale de mirar la recta.
Las tres traducciones que hay que saber de memoria
Con a > 0:
|A| < a ⟺ −a < A < a (un intervalo)
|A| > a ⟺ A > a o A < −a (dos rayos)
La de menor da un intervalo porque "estar cerca del cero" es una sola región. La de mayor da dos pedazos porque "estar lejos" se puede estar para cualquiera de los dos lados. Contestar un intervalo en el caso de mayor es el error más frecuente del tema.
Y los casos borde, que también se toman: si a < 0, entonces |A| = a no tiene solución y |A| > a la cumplen todos los reales. Si a = 0, |A| = 0 obliga a A = 0.
Propiedades
|a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular)
√(x²) = |x| (no x)
La última merece un cartel: √(x²) = |x|. Escribirlo como x es un error que arrastra signos por todo el ejercicio, y aparece cada vez que se simplifica una raíz o se calcula un límite con raíces.
Fijate que el módulo se lleva bien con el producto y el cociente, pero no con la suma: ahí sólo hay una desigualdad, no una igualdad.
Cuando adentro hay algo más complicado
Las traducciones valen igual con cualquier expresión A adentro. |2x − 6| ≤ 4 se convierte en −4 ≤ 2x − 6 ≤ 4 y se resuelve sumando y dividiendo en los tres lados a la vez.
Cuando hay módulos en los dos lados, como |A| = |B|, hay dos casos y hay que resolver los dos:
Elevar al cuadrado también funciona acá (porque los dos lados son no negativos) y a veces es más rápido, pero elevar al cuadrado cuando uno de los lados puede ser negativo agrega soluciones falsas. Si lo hacés, verificá todas las respuestas en la ecuación original.
El gráfico
El de |x| es una V con el vértice en el origen. El de |x − h| + k es la misma V con el vértice en (h, k). Y una regla que resuelve muchos ejercicios de un vistazo: para graficar |f(x)|, se dibuja f y se refleja hacia arriba todo lo que quedaba por debajo del eje x.
|f(x)| refleja hacia arriba la parte de abajo.
f(|x|) borra la mitad izquierda y la reemplaza por el espejo de la derecha, así que el resultado siempre es simétrico respecto del eje y.
Resolver |2x + 1| = |x − 4| y, por separado, |3x − 2| > 4.
La ecuación. Hay módulo de los dos lados, así que van los dos casos:
Caso 1: 2x + 1 = x − 4
Caso 2: 2x + 1 = −(x − 4) = −x + 4
Verificación en la ecuación original, que acá no es opcional:
x = 1: |2 + 1| = 3 y |1 − 4| = 3 ✔
Las dos sirven. Quedarse con una sola es medio ejercicio, y es lo que pasa cuando se plantea un solo caso.
Un aviso. Podría tentarte leer |2x+1| = |x−4| como "x está a la misma distancia de −1/2 y de 4". No es así: esa lectura sólo vale cuando los coeficientes de la x son iguales en los dos lados, como en |x−1| = |x+3|. Acá uno es 2 y el otro 1, así que hay que ir por los dos casos.
La inecuación. Es del tipo "mayor", así que son dos condiciones con o:
3x > 6 o 3x < −2
x > 2 o x < −2/3
Control con puntos de prueba. Tomo uno de cada región:
x = 0 (no debería): |−2| = 2, no es > 4 ✔
x = 3 (debería): |9 − 2| = 7 > 4 ✔
Tres reemplazos de diez segundos confirman que la solución tiene dos pedazos y cuáles son. Si te hubiera dado un intervalo solo, este control lo detectaba.
Resolver la ecuación |x − 2| + |x + 1| = 5 y, por separado, la inecuación 0 < |x − 3| ≤ 2. Dar los dos conjuntos solución.
Con dos módulos no sirve el truco de «más menos». Hay que partir la recta en los puntos donde cada módulo cambia de signo: x = 2 y x = −1. Quedan tres zonas, y en cada una la ecuación se escribe sin módulos.
Zona 1: x < −1. Ahí x − 2 es negativo y x + 1 también, así que los dos módulos cambian de signo:
1 − 2x = 5 → x = −2
¿Sirve? Hay que controlar que caiga dentro de su zona: −2 < −1 ✓. Es solución.
Zona 2: −1 ≤ x ≤ 2. Ahí x − 2 sigue siendo negativo pero x + 1 ya es positivo:
3 = 5, que es falso
Las x se cancelaron y quedó un absurdo. Eso no es un error de cuentas: significa que en toda esa zona la suma vale constantemente 3, nunca 5. Ningún x de ahí sirve.
Zona 3: x > 2. Los dos módulos salen tal cual:
2x − 1 = 5 → x = 3
Control: 3 > 2 ✓. Es solución.
La verificación, que acá es obligatoria, porque cada solución salió de una zona distinta:
x = 3: |1| + |4| = 1 + 4 = 5 ✓
Qué significa geométricamente. |x − 2| + |x + 1| es la suma de las distancias de x al 2 y al −1. Entre ellos esa suma es siempre 3 (la distancia entre los dos), y por eso la zona 2 no daba: recién afuera empieza a crecer.
La inecuación, ahora. Son dos condiciones a la vez, y conviene resolverlas por separado:
|x − 3| > 0 ⟺ x ≠ 3
Se intersecan:
Ese 0 < del principio parece decorativo y no lo es: es lo único que saca al 3 del conjunto.
Dónde se pierde el punto: no controlar que cada solución caiga en su propia zona. Es facilísimo obtener un x = 4 resolviendo la zona x < −1 y darlo por bueno; no lo es.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir √(x²) = x. Es |x|, y la diferencia se nota cuando x es negativo.
- Resolver |A| = a olvidándose del caso negativo (siempre son dos ecuaciones).
- Dar como respuesta un intervalo en una inecuación del tipo |A| > a: la solución son dos pedazos unidos con ∪.
- Elevar al cuadrado cuando uno de los lados puede ser negativo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Función módulo (valor absoluto) →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos condiciones y un dominio25 puntos · resuelto paso a paso
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La recta real y funciones elementales