Análisis Matemático I · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Función lineal
La pendiente no es "un número que acompaña a la x": es la respuesta a "si x avanza 1, ¿cuánto cambia f?". Esa lectura es la que después se convierte en la derivada.
La explicación
La fórmula y qué significa cada parte
- m es la pendiente: cuánto sube la y por cada unidad que avanza la x. En un problema aplicado siempre tiene unidades — pesos por kilómetro, grados por minuto — y decirlas es la mitad de la respuesta.
- b es la ordenada al origen: el valor en x = 0, o sea dónde corta el eje y.
Lo que define a una función lineal es que la variación es constante: entre dos puntos cualesquiera, el cociente entre lo que cambió la y y lo que cambió la x da siempre lo mismo. Ése es el test para decidir si una tabla de datos corresponde a una recta.
Hallar la recta
Con dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):
Numerador las y, denominador las x. Darlo vuelta es el error clásico, y el control es inmediato: reemplazá los dos puntos en la fórmula que obtuviste y tienen que dar.
Con la pendiente ya calculada, conviene la forma punto-pendiente, que evita despejar b:
Qué te dice el signo de m
- m > 0: creciente. m < 0: decreciente. m = 0: constante, una horizontal.
- Creciente no es lo mismo que positiva. f(x) = 2x − 100 crece en todos lados y sin embargo vale negativo hasta x = 50.
Y algo que se olvida: una recta vertical (x = k) no es una función, porque ese único x tendría infinitas imágenes.
Paralelas y perpendiculares
perpendiculares ⟺ m₁·m₂ = −1
La segunda se recuerda mejor así: la pendiente de la perpendicular es la inversa cambiada de signo. Si una recta tiene pendiente 3, la perpendicular tiene −1/3. Casos aparte: una horizontal y una vertical son perpendiculares, aunque la fórmula no aplique porque la vertical no tiene pendiente.
Cero, positividad y negatividad
El cero sale de mx + b = 0, o sea x = −b/m (si m ≠ 0). Ese único punto parte la recta real en dos: de un lado la función es positiva y del otro negativa, y cuál es cuál lo decide el signo de m. Si m > 0 es negativa a la izquierda del cero y positiva a la derecha; si m < 0, al revés.
Inecuaciones lineales
Se resuelven como las ecuaciones, con una sola regla extra que es la que se olvida:
−2x > 6 ⟹ x < −3, no x > −3.
Control barato: elegí un número de tu conjunto solución y probalo en la inecuación original. Si no la cumple, algo se dio vuelta mal.
Modelar con rectas, y con rectas a trozos
Cualquier situación con un costo fijo más un costo por unidad es lineal: la bajada de bandera más el kilómetro, el abono más el consumo, el sueldo base más la comisión. El fijo es b y el variable es m.
Pero muchas tarifas reales cambian de regla por tramos: los primeros 100 kWh a un precio y el resto a otro, o la alícuota de un impuesto que sube por escalones. Eso se modela con una función definida por partes, donde cada tramo es lineal con su propia pendiente.
1. Escribí claramente el intervalo de validez de cada tramo; ahí es donde se cuelan los errores.
2. Fijate si la función tiene que quedar continua en los empalmes. En una tarifa casi siempre sí: el precio no pega saltos al pasar de un escalón al siguiente, y esa condición es la que te permite hallar los parámetros que faltan.
Hallar la recta que pasa por A = (−1, 5) y B = (3, −3). Después, la paralela que pasa por el origen y la perpendicular que pasa por (2, 1).
La pendiente. Las y arriba, las x abajo:
La recta. Uso la forma punto-pendiente con A:
y = −2x − 2 + 5 = −2x + 3
Control con los dos puntos, que es obligatorio:
Si sólo verificás con uno de los dos, un error en m se puede colar: la recta pasaría por ese punto pero no por el otro.
La paralela por el origen. Misma pendiente, y pasa por (0, 0), así que b = 0:
La perpendicular por (2, 1). La pendiente es la inversa cambiada de signo:
Control de la perpendicularidad: m·m' = (−2)·(1/2) = −1 ✔
Lectura extra. La recta original es decreciente (m = −2), su cero está en −2x + 3 = 0, o sea x = 3/2. A la izquierda de 3/2 es positiva y a la derecha negativa — al revés de lo que pasaría con pendiente positiva. Control: f(0) = 3 > 0 y 0 está a la izquierda de 3/2 ✔
Dónde se cae la mayoría
- Calcular la pendiente como (x₂−x₁)/(y₂−y₁), dado vuelta.
- Confundir "creciente" con "positiva". Una recta puede ser decreciente y estar toda arriba del eje x en un tramo.
- En los problemas con enunciado, mezclar unidades (minutos con horas, metros con kilómetros) antes de calcular la pendiente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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