Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Funciones: dominio, imagen y composición
Una función es una máquina: entra un número, sale exactamente uno. Todo el resto del año vas a estar preguntándote qué le podés meter (dominio), qué puede salir (imagen) y qué pasa si encadenás dos máquinas (composición).
La explicación
Qué es una función, con precisión
Una función de A en B le asigna a cada elemento de A un solo elemento de B. Las dos palabras importan: si algún x del dominio no tiene imagen, o si tiene dos, no es función. Por eso el test de la recta vertical funciona: si una vertical corta el gráfico dos veces, ese x tendría dos imágenes.
Dos funciones son iguales cuando coinciden la fórmula y el dominio. Es una distinción que parece burocrática y no lo es: (x²−1)/(x−1) y x+1 dan lo mismo en todos lados salvo en x = 1, donde la primera no existe. Son funciones distintas.
Dominio: qué podés meterle
Cuando no lo aclaran, el dominio es el conjunto más grande donde la fórmula tiene sentido. Las tres restricciones de siempre:
- Denominador distinto de cero.
- Radicando de una raíz de índice par, mayor o igual que cero.
- Argumento de un logaritmo, estrictamente positivo.
Si hay varias a la vez, el dominio es la intersección de todas las condiciones, no la unión. Es el error más caro del tema: alcanza con que una falle para que ese x quede afuera.
Imagen: qué valores llega a tomar
La imagen es el conjunto de las y que efectivamente se alcanzan. Se puede hallar de dos maneras:
- Despejando: se plantea y = f(x), se despeja x en función de y, y se pregunta para qué y esa cuenta es posible.
- Mirando el gráfico: es la "sombra" sobre el eje y.
Del gráfico también se leen el dominio (la sombra sobre el eje x), los ceros (donde corta el eje x), los intervalos de crecimiento, y los conjuntos de positividad y negatividad. Los ejercicios que dan un gráfico y piden todo eso son gratis si sabés dónde mirar.
Composición: encadenar máquinas
Se lee de adentro hacia afuera: primero actúa g, después f. Y acá está lo que más se equivoca: el dominio de f∘g no es el dominio de la fórmula simplificada. Hay que pedir dos cosas a la vez:
2. que g(x) esté en el dominio de f (si no, no se le puede aplicar f).
Por eso una composición puede simplificarse a algo aparentemente inofensivo y tener un dominio recortado igual. Y por eso f∘g casi nunca es g∘f: ni la fórmula ni el dominio tienen por qué coincidir.
Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva
- Inyectiva: valores distintos van a parar a imágenes distintas. Gráficamente, ninguna horizontal la corta dos veces.
- Sobreyectiva: la imagen es todo el codominio, o sea no sobra nada del lado de llegada.
- Biyectiva: las dos cosas.
Que una función sea sobreyectiva depende del codominio que le declares. f(x) = x² de ℝ en ℝ no lo es, pero de ℝ en [0, +∞) sí. Por eso el enunciado siempre aclara el codominio cuando la pregunta va por ahí.
Función inversa
Sólo existe si f es biyectiva. La receta es despejar x en función de y y después renombrar las variables. El resultado cumple:
Dos consecuencias que aparecen seguido:
- El dominio de la inversa es la imagen de la original, y al revés. Se intercambian.
- Los dos gráficos son simétricos respecto de la recta y = x.
Cuando f no es inyectiva se la restringe a un tramo donde sí lo sea, y ahí se invierte. Es exactamente lo que se hace para definir la raíz cuadrada a partir de x², y más adelante el arcoseno a partir del seno.
Armar una función a partir de una situación
Buena parte de los ejercicios no da la fórmula: da una caja, un rectángulo o un tanque y pide escribir el área o el volumen en función de una sola variable. El método es siempre el mismo:
2. Buscar la relación que las liga (el perímetro es fijo, la altura depende del radio, etc.).
3. Usarla para eliminar todas las variables menos una.
4. Decir el dominio, que acá casi nunca es todo ℝ: las longitudes son positivas.
Ese último paso es el que se olvida, y es el que distingue una función matemática de un modelo que describe algo real.
Sean f(x) = √(x + 2) y g(x) = 1/(x − 3). Hallar los dos dominios, la composición f∘g con su dominio, y la inversa de f.
Los dominios por separado.
Dom(g) = ℝ − {3} (el denominador no puede anularse)
La composición.
El dominio de la composición, con las dos condiciones:
Primero, x ≠ 3 para que g exista. Segundo, el radicando tiene que ser ≥ 0. Uno todo en una sola fracción para poder estudiar el signo:
Ahora la regla de los signos, con los puntos críticos 5/2 y 3:
x = 2,6 → (0,2)/(−0,4) = −0,5 < 0 ✘
x = 3,1 → (1,2)/(0,1) = 12 > 0 ✔
El 5/2 entra (ahí el radicando vale 0, y √0 = 0 existe) y el 3 no, porque ni siquiera está en el dominio de g. Corchete de un lado y paréntesis del otro, por razones distintas: eso es lo que hay que poder justificar.
La inversa de f. Como función de [−2, +∞) en [0, +∞), f es biyectiva. Despejo:
Fijate que dominio e imagen se intercambiaron. Y que el dominio de la inversa no es todo ℝ, aunque la fórmula y² − 2 se pueda calcular en todo ℝ: la inversa sólo está definida donde la original llegaba.
Control: f(f⁻¹(3)) = f(7) = √9 = 3 ✔ y f⁻¹(f(2)) = f⁻¹(2) = 2 ✔
Sean f(x) = (x − 1)/(x + 2) y g(x) = √(4 − x²). Hallar el dominio de g, la composición (f∘g)(x) con su dominio, y la fórmula de f⁻¹ indicando su dominio.
El dominio de g. Lo único que hay que pedirle a una raíz cuadrada es que lo de adentro no sea negativo:
Dom(g) = [−2, 2]
La composición. (f∘g)(x) quiere decir f aplicada al resultado de g: se reemplaza cada x de f por la fórmula entera de g.
El dominio de la composición, que es la parte que puntúa. Hay que pedir dos cosas a la vez: que x esté en el dominio de g, y que g(x) esté en el dominio de f.
2) g(x) ≠ −2, porque f no acepta el −2 en su denominador
La segunda condición se cumple siempre. Una raíz cuadrada nunca da negativo, así que √(4 − x²) ≥ 0 y el denominador vale por lo menos 2. Nunca se anula:
Que la condición no recorte nada no significa que no haya que escribirla: si el denominador de f fuera x − 1, habría que pedir g(x) ≠ 1, o sea √(4 − x²) ≠ 1, y se caían x = √3 y x = −√3: el dominio cambiaba.
La inversa. Se escribe y = f(x), se despeja x, y recién al final se cambian los nombres:
y·(x + 2) = x − 1
y·x + 2y = x − 1
y·x − x = −1 − 2y → x·(y − 1) = −(2y + 1)
x = (2y + 1)/(1 − y)
Ese 1 que se excluye no salió de la nada. El dominio de la inversa es la imagen de f, y la imagen de f es ℝ − {1} porque y = 1 es su asíntota horizontal. Los dos caminos dan lo mismo, y eso es el control.
La verificación, que lleva un renglón:
Dónde se pierde el punto: dar el dominio de f∘g mirando solo la fórmula final. La fórmula final ya está simplificada y se olvidó de por dónde pasó: hay que exigir las condiciones de g y las de f, en ese orden.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular f∘g reemplazando sin paréntesis. Si f(x)=x² y g(x)=x+1, es (x+1)², no x+1².
- Creer que f∘g = g∘f. Casi nunca es cierto.
- Olvidarse de una de las condiciones del dominio cuando hay raíz y denominador.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Funciones: dominio, imagen y composición →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos condiciones y un dominio25 puntos · resuelto paso a paso
- Primer parcial — La homográfica de punta a punta25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 1
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