Análisis Matemático I · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Números reales e intervalos
Un intervalo es un pedazo de la recta real. Todo el trabajo del cuatrimestre — dominios, conjuntos de positividad, soluciones de inecuaciones — se termina escribiendo como intervalos, así que conviene que la notación te salga automática.
La explicación
Los conjuntos con los que trabajamos
ℕ = {1, 2, 3, …} son los naturales; ℤ agrega los negativos y el cero; ℚ son los que se pueden escribir como fracción a/b. Los reales ℝ son todos esos más los irracionales, que son los que no se pueden escribir como fracción: √2, π, e. Cada real es un punto de la recta, y la recta no tiene agujeros: esa propiedad (se llama completitud) es la razón de fondo por la que después van a funcionar los límites.
Notación de intervalos
(a, b) → no incluye ninguno de los dos
[a, b) → incluye a, no incluye b
(−∞, b] → todo lo que está a la izquierda de b, con b adentro
[a, +∞) → todo lo que está a la derecha de a, con a adentro
La regla es una sola: corchete = el extremo pertenece, paréntesis = no pertenece. El infinito nunca lleva corchete, porque no es un número que pueda pertenecer a nada; es una manera de decir "esto no se termina".
Unión e intersección, sin confundirlas
A ∪ B ("A unión B") junta todo lo que esté en al menos uno de los dos. A ∩ B ("A intersección B") se queda solo con lo que está en los dos a la vez.
Dados A = [0, +∞), B = (2, 6] y C = (−∞, 1), hallar A∪B, A∩B, A∪C y A∩C.
Conviene dibujarlos. B = (2, 6] está enteramente adentro de A = [0, +∞), porque todo número mayor que 2 ya es mayor que 0. Entonces la unión no agrega nada y la intersección es directamente B:
A ∩ B = (2, 6]
Con C es distinto: A arranca en 0 y sigue para la derecha, C viene desde −∞ y corta antes del 1. Se superponen en el tramo [0, 1). Y entre los dos cubren toda la recta, porque C se ocupa de todo lo negativo y A de todo lo positivo:
A ∩ C = [0, 1)
Fijate en el detalle del [0, 1): el 0 entra porque A lo incluye (corchete) y C también lo tiene; el 1 no entra porque C lo excluye.
Dónde se cae la mayoría
- Poner corchete al infinito: [2, +∞] está mal, se escribe [2, +∞).
- Escribir un intervalo al revés, tipo (5, 2). El extremo izquierdo siempre es el menor.
- Confundir el resultado de una intersección vacía con el número 0. Si no se superponen, el resultado es ∅ (el conjunto vacío), que no es lo mismo que {0}.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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