Análisis Matemático I (66) · Unidad 1 — La recta real y funciones elementales
Números reales e intervalos
Un intervalo es un pedazo de la recta real. Todo el trabajo del cuatrimestre — dominios, conjuntos de positividad, soluciones de inecuaciones — se termina escribiendo como intervalos, así que conviene que la notación te salga automática.
La explicación
Los conjuntos con los que trabajamos
ℕ = {1, 2, 3, …} son los naturales; ℤ agrega los negativos y el cero; ℚ son los que se pueden escribir como fracción a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Los reales ℝ son todos esos más los irracionales, que son los que no se pueden escribir como fracción: √2, π, e. Cada real es un punto de la recta, y la recta no tiene agujeros: esa propiedad se llama completitud, es la razón de fondo por la que después van a funcionar los límites, y recién al final de este tema se puede decir con precisión — hace falta antes la idea de supremo.
Notación de intervalos
(a, b) → no incluye ninguno de los dos
[a, b) → incluye a, no incluye b
(−∞, b] → todo lo que está a la izquierda de b, con b adentro
[a, +∞) → todo lo que está a la derecha de a, con a adentro
La regla es una sola: corchete = el extremo pertenece, paréntesis = no pertenece. El infinito nunca lleva corchete, porque no es un número que pueda pertenecer a nada; es una manera de decir "esto no se termina".
Conjuntos escritos con una condición
No todo conjunto llega escrito como intervalo. Muchas veces se lo describe con una propiedad que sus elementos tienen que cumplir:
Se lee «los x reales tales que x² < 9». Los dos puntos —a veces se escribe una barra, / o |— son el «tales que». Adelante va de dónde salen los elementos; atrás, la condición.
El primer trabajo siempre es pasarlo a intervalo, porque mientras la condición esté ahí no se puede unir ni intersecar con nada. Ése de arriba es (−3, 3) — y ojo con la trampa: no es x < 3, porque el cuadrado deja entrar también a los negativos, hasta −3.
Unión e intersección, sin confundirlas
A ∪ B ("A unión B") junta todo lo que esté en al menos uno de los dos. A ∩ B ("A intersección B") se queda solo con lo que está en los dos a la vez.
Complemento, diferencia y el vacío
Dos operaciones más, que aparecen apenas el ejercicio sube de nivel:
- El complemento Aᶜ es todo lo que ℝ tiene y A no. El de un intervalo son dos pedazos: si A = (3, 7), entonces Aᶜ = (−∞, 3] ∪ [7, +∞). Fijate que los extremos se dan vuelta: lo que venía abierto queda cerrado.
- La diferencia A − B es lo que está en A y no está en B. Es exactamente lo mismo que A ∩ Bᶜ, y calcularla así es lo más seguro, porque te obliga a mirar los extremos.
Y si dos conjuntos no se tocan, la intersección es el conjunto vacío, que se escribe ∅. No es el número 0 ni el conjunto {0}: es «acá no hay ningún elemento». Por ejemplo (2, 3) ∩ (5, 6) = ∅.
Cotas, supremo e ínfimo
Un número K es cota superior de A si ningún elemento de A lo pasa: todos quedan a su izquierda en la recta. Si existe alguna, A está acotado superiormente.
Lo primero que hay que aceptar es que las cotas son infinitas. De A = (−∞, 2) son cotas el 2, el 3, el 100, π, y cualquier número mayor o igual que 2. Por eso preguntar «una cota» no tiene gracia: la pregunta que importa es cuál es la más chica.
ínf(A) = la MAYOR cota inferior
Para (−∞, 2) el supremo es 2. Ínfimo no tiene, porque por abajo ese conjunto no está acotado.
ínf = mín = 0
{−1, 0, 5/2} sup = máx = 5/2
La regla corta: extremo cerrado → es máximo o mínimo; extremo abierto → es sólo supremo o ínfimo.
Y hay conjuntos que no tienen ninguna cota superior: (2, +∞) no tiene, y los naturales tampoco —para cualquier K que propongas, K + 1 ya lo pasa—. Ésos no están acotados superiormente, y entonces no tienen supremo.
La completitud, de la que dependen los límites
Con el supremo a mano ya se puede decir qué es esa propiedad que se nombró al principio. El axioma de completitud dice:
y acotado superiormente
tiene supremo.
Suena obvio y no lo es, y la prueba es que ℚ no lo cumple. Agarrá los racionales positivos cuyo cuadrado es menor que 2. Está acotado —el 2 es cota superior— pero su menor cota superior sería √2, que no es racional. Podés acercarte todo lo que quieras, 1,4 · 1,41 · 1,414 · 1,4142 · 1,41421, y nunca llegás con una fracción: ahí la recta de los racionales tiene un agujero.
Los reales son los que llenan esos agujeros, y por eso funciona todo lo que viene después: que una sucesión creciente y acotada tenga límite, que una función continua que cambia de signo cruce el cero, que una integral exista. Todos esos teoremas se apoyan acá.
Dados A = [0, +∞), B = (2, 6] y C = (−∞, 1), hallar A∪B, A∩B, A∪C y A∩C.
Conviene dibujarlos. B = (2, 6] está enteramente adentro de A = [0, +∞), porque todo número mayor que 2 ya es mayor que 0. Entonces la unión no agrega nada y la intersección es directamente B:
A ∩ B = (2, 6]
Con C es distinto: A arranca en 0 y sigue para la derecha, C viene desde −∞ y corta antes del 1. Se superponen en el tramo [0, 1). Y entre los dos cubren toda la recta, porque C se ocupa de todo lo negativo y A de todo lo positivo:
A ∩ C = [0, 1)
Fijate en el detalle del [0, 1): el 0 entra porque A lo incluye (corchete) y C también lo tiene; el 1 no entra porque C lo excluye.
Sean A = {x ∈ ℝ : |x − 3| ≤ 5}, B = (−∞, 0] ∪ (4, 7) y C = {x ∈ ℝ : x² < 9}. Escribir A y C como intervalos y hallar A∩B, A∪C y A − C.
Lo primero es traducir: los tres conjuntos tienen que quedar como intervalos. Mientras estén escritos con módulos y desigualdades no se puede operar con ellos.
El conjunto A. Un módulo menor o igual que 5 significa «a distancia 5 o menos del 3», y eso se abre en una desigualdad doble:
A = [−2, 8]
El conjunto C, con el cuadrado. Acá está la trampa: x² < 9 no es x < 3. La raíz de un cuadrado es un módulo:
C = (−3, 3)
La intersección A∩B. B viene en dos pedazos, así que se corta A con cada uno por separado:
[−2, 8] ∩ (4, 7) = (4, 7)
A∩B = [−2, 0] ∪ (4, 7)
Que la respuesta quede en dos pedazos no es un error: una intersección con una unión puede perfectamente no ser un intervalo.
La unión A∪C. Acá hay que mirar los extremos con cuidado, que es donde se pierde el medio punto:
El −3 queda afuera (venía abierto de C y A no lo tiene) y el 8 queda adentro (venía cerrado de A). Un paréntesis mal puesto es una respuesta mal.
La diferencia A − C. Quitarle C a A es lo mismo que intersecar A con el complemento de C:
A − C = [−2, 8] ∩ Cc = [3, 8]
Fijate que el 3 sí pertenece: no estaba en C porque C era abierto, así que no se le quita a A.
Dónde se pierde el punto: resolver x² < 9 como x < 3, y descuidar si los extremos van abiertos o cerrados al unir e intersecar. Dibujar los tres conjuntos en una misma recta numérica, uno debajo del otro, resuelve las dos cosas.
Dónde se cae la mayoría
- Poner corchete al infinito: [2, +∞] está mal, se escribe [2, +∞).
- Escribir un intervalo al revés, tipo (5, 2). El extremo izquierdo siempre es el menor.
- Confundir el resultado de una intersección vacía con el número 0. Si no se superponen, el resultado es ∅ (el conjunto vacío), que no es lo mismo que {0}.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Números reales e intervalos →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Dos condiciones y un dominio25 puntos · resuelto paso a paso
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