Álgebra del CBC, tema por tema

Álgebra tiene fama de ser la más mecánica de las materias de matemática del CBC, y es media verdad. Las cuentas son sistemáticas —triangular una matriz siempre se hace igual— pero los parciales no preguntan la cuenta: preguntan qué pasa cuando aparece un parámetro y el sistema cambia de tipo según cuánto valga. Ahí se define la nota.

Abajo está el programa entero. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y de ahí se pasa a practicar con corrección en cada paso.

Entrar a practicar →43 temas · 287 ejercicios · gratis, sin cuenta

Todos los temas

Unidad 1 — Conjuntos

1.1 Conjuntos, pertenencia e inclusiónUn conjunto es una colección de elementos. Hay dos relaciones distintas que se confunden todo el tiempo: pertenecer (un elemento adentro) e incluir (un conjunto adentro de otro).
1.2 Unión, intersección y complementoTres operaciones que combinan conjuntos. Casi todo lo que se pide se resuelve dibujando el diagrama de Venn y pintando la región que corresponde.
1.3 Producto cartesiano y partesDos construcciones nuevas: el producto cartesiano, donde el orden sí importa, y el conjunto de partes, cuyos elementos son conjuntos.

Unidad 2 — Números complejos

2.1 Forma binómica: suma y productoSe agrega un número i que cumple i² = −1, y con eso todo polinomio pasa a tener raíces. Un complejo se escribe a + bi y se opera como cualquier expresión algebraica.
2.2 Conjugado, módulo e inversoEl conjugado se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, y es la herramienta que permite dividir complejos.
2.3 Forma polar y exponencialEn vez de dar las dos coordenadas, se da cuánto mide el vector y qué ángulo forma. Con eso multiplicar se vuelve trivial.
2.4 De Moivre: potencias y raícesElevar a una potencia en forma polar es elevar el módulo y multiplicar el ángulo. Dado vuelta, eso da las n raíces n-ésimas, que quedan repartidas parejo sobre una circunferencia.
2.5 Regiones del plano complejoUna condición sobre |z| o arg(z) describe una figura geométrica. Leer la condición como una distancia es lo que convierte la ecuación en un dibujo.

Unidad 3 — Polinomios

3.1 Grado, operaciones y divisiónUn polinomio se maneja como un número entero: se suma, se multiplica y se divide con resto. El grado es el que gobierna todas las cuentas.
3.2 Teorema del resto y raícesPara saber el resto de dividir por x − a no hace falta dividir: alcanza con evaluar el polinomio en a. Y si da cero, x − a es un factor.
3.3 Teorema de Gauss y factorizaciónGauss da una lista finita de candidatos a raíz racional. En vez de probar al azar, se prueba una lista corta y bien definida.
3.4 Multiplicidad y raíces complejasEn ℂ todo polinomio se parte del todo en factores lineales, y las raíces complejas de un polinomio real siempre vienen de a pares conjugados.

Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

4.1 Vectores en ℝⁿUn vector es una flecha con dirección, sentido y longitud, y también una lista de números. Las dos lecturas describen lo mismo y conviene poder saltar de una a la otra.
4.2 Producto escalar y producto vectorialDos productos distintos entre vectores. Uno devuelve un número y detecta perpendicularidad; el otro devuelve un vector perpendicular a los dos.
4.3 Rectas: paramétrica e implícitaUna recta queda determinada por un punto y una dirección. Hay dos maneras de escribirla y conviene saber pasar de una a la otra.
4.4 Planos en ℝ³Un plano queda determinado por un punto y un vector perpendicular. Ese vector normal es toda la información: los coeficientes de la ecuación son sus coordenadas.
4.5 Posiciones relativasDos rectas, dos planos o una recta y un plano pueden cortarse, ser paralelos o coincidir. Todo se decide mirando primero las direcciones y después un punto.

Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones

5.1 Norma y distanciaLa norma es la longitud de un vector, y sale de Pitágoras. La distancia entre dos puntos es la norma de su diferencia.
5.2 Ángulo entre vectoresEl producto escalar no sólo detecta ángulos rectos: mide cualquier ángulo. La fórmula del coseno es la que lo hace.
5.3 Áreas, volúmenes y producto mixtoLa norma del producto vectorial es el área del paralelogramo, y el producto mixto es el volumen del paralelepípedo. Dos fórmulas que convierten geometría en una cuenta.
5.4 Proyección ortogonal y distanciasProyectar un punto sobre una recta o un plano es encontrar el punto más cercano. La distancia es lo que queda perpendicular.
5.5 Proyección sobre un planoProyectar sobre un plano es lo mismo que sobre una recta, con el normal en el papel del director: se baja la perpendicular y se cae en el punto más cercano.
5.6 Punto simétricoEl simétrico es el reflejo: se llega a la proyección y se sigue otro tanto. Toda la cuenta es P′ = 2·proy − P.

Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

6.1 Matrices y productoUna matriz es un arreglo rectangular de números. Se suma elemento a elemento, pero el producto es fila por columna y no es conmutativo.
6.2 Sistemas lineales y eliminación de GaussUn sistema se escribe como matriz ampliada y se triangula con operaciones de fila. Triangulado, se resuelve de abajo hacia arriba.
6.3 Rango y compatibilidadEl rango cuenta cuántas ecuaciones realmente distintas quedaron. Comparando el rango de la matriz con el de la ampliada se sabe de antemano cuántas soluciones hay.
6.4 Sistemas con parámetroCuando un coeficiente es una letra, el sistema puede tener distinto comportamiento según su valor. Hay que triangular sin dividir por el parámetro y después analizar los casos.
6.5 Matriz inversaLa inversa de A es la matriz que al multiplicarla por A da la identidad. No todas la tienen, y se calcula triangulando A junto a la identidad.
6.6 Subespacios de ℝⁿUn subespacio es un subconjunto que aguanta las dos operaciones sin salirse. En ℝ² y ℝ³ son exactamente las rectas y los planos que pasan por el origen.
6.7 Combinaciones lineales y generadoresGenerar es armar todo un subespacio a partir de unos pocos vectores. Es la forma más compacta de describirlo, y se puede ir y volver entre generadores y ecuaciones.
6.8 Independencia linealUn conjunto es independiente si ninguno de sus vectores sobra. Se chequea planteando que la combinación dé cero y viendo si hay otra solución además de la trivial.
6.9 Base y dimensiónUna base es un conjunto de generadores sin nada de más. Todas las bases de un mismo subespacio tienen la misma cantidad de elementos, y ese número es la dimensión.

Unidad 7 — Determinantes

7.1 Cómo se calcula un determinanteEl determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. El de 2×2 es una cuenta directa; los más grandes se reducen a determinantes más chicos.
7.2 Propiedades del determinanteLas propiedades permiten calcular determinantes grandes sin desarrollar nada: se triangula la matriz y se multiplica la diagonal.
7.3 Determinante, inversa e independenciaEl determinante es un detector: si da distinto de cero, la matriz es inversible, las filas son independientes y el sistema tiene solución única. Todo es la misma pregunta.

Unidad 8 — Transformaciones lineales

8.1 Qué es una transformación linealEs una función entre espacios que respeta la suma y el producto por escalares. Esas dos condiciones son toda la definición y todo lo que hay que verificar.
8.2 La matriz de una transformaciónToda transformación lineal se escribe como multiplicar por una matriz, y las columnas de esa matriz son las imágenes de los vectores de la base canónica.
8.3 Transformaciones del planoRotaciones, simetrías, homotecias y deslizamientos: cada una tiene una matriz reconocible, y saberlas de memoria ahorra mucho trabajo.
8.4 Núcleo, imagen y clasificaciónEl núcleo es lo que T manda al cero; la imagen, todo lo que T alcanza. Sus dimensiones suman siempre la dimensión de salida.
8.5 ProyectoresUn proyector es una transformación que aplicada dos veces da lo mismo que una sola. Proyectar algo ya proyectado no lo mueve.

Unidad 9 — Cónicas

9.1 La parábolaTodos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo y de una recta fija. De esa condición sale la ecuación, no al revés.
9.2 Circunferencia y elipseLa circunferencia es el lugar de los puntos a distancia fija de un centro. La elipse generaliza eso con dos focos: la suma de las distancias es constante.
9.3 La hipérbola y clasificaciónLa hipérbola usa la diferencia de distancias en vez de la suma, y tiene dos ramas con asíntotas. Mirando los signos de x² e y² se identifica cualquier cónica.