Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos
Unión, intersección y complemento
Tres operaciones que combinan conjuntos. Casi todo lo que se pide se resuelve dibujando el diagrama de Venn y pintando la región que corresponde.
La explicación
Las operaciones
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B} intersección
A − B = {x : x ∈ A y x ∉ B} diferencia
Aᶜ = {x ∈ U : x ∉ A} complemento
El "o" de la unión es inclusivo: los elementos que están en los dos también entran. Y el complemento siempre se toma respecto de un conjunto universal U, que hay que tener declarado: el complemento de {1,2} no significa nada hasta que se diga si U es ℕ o ℝ.
El truco: pintar el diagrama
Dos conjuntos parten el universo en cuatro regiones: sólo A, sólo B, las dos, ninguna. Cualquier expresión con ∪, ∩, − y ᶜ es simplemente elegir cuáles de esas cuatro se pintan.
Las leyes de De Morgan
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
En palabras: el complemento da vuelta la operación. "No estar en A ni en B" es lo mismo que "no estar en A y no estar en B". La unión se convierte en intersección y al revés.
Otras propiedades que se usan
A − B = A ∩ Bᶜ la diferencia no es una operación nueva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) distributiva
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) distributiva
La segunda es útil: cada vez que aparece una resta, se puede reescribir con complemento y aplicar De Morgan.
U = {1,…,10}, A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7}. Calcular A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A y (A ∪ B)ᶜ.
Conviene ordenar mentalmente los elementos en las cuatro regiones antes de calcular nada:
en los dos: 4, 5
sólo en B: 6, 7
en ninguno: 8, 9, 10
Con eso a la vista, todo sale leyendo:
A ∩ B = {4, 5} la segunda
A − B = {1, 2, 3} la primera
B − A = {6, 7} la tercera
(A ∪ B)ᶜ = {8, 9, 10} la cuarta
Verificación por De Morgan. (A ∪ B)ᶜ tiene que dar lo mismo que Aᶜ ∩ Bᶜ. Y de hecho: Aᶜ = {6,7,8,9,10}, Bᶜ = {1,2,3,8,9,10}, y su intersección es {8,9,10}. Coincide.
Control de tamaños: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 5 + 4 − 2 = 7. Y contamos 7 elementos. Si no cerrara, habría que revisar.
Probar que para todo par de conjuntos A y B vale (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A), y verificarlo con U = {1,…,8}, A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6}.
Ese conjunto tiene nombre: es la diferencia simétrica, los elementos que están en uno de los dos pero no en los dos. El ejercicio pide mostrar que las dos formas de escribirla dan lo mismo.
Para probar una igualdad de conjuntos hay dos caminos, y conviene saber cuál usar:
2) cadena de equivalencias: traducir a lógica y operar
Acá conviene el segundo, porque cada paso es reversible y se hace una sola vez. Se toma un x cualquiera y se traduce la pertenencia:
⟺ x ∈ (A ∪ B) y x ∉ (A ∩ B)
⟺ (x ∈ A o x ∈ B) y no(x ∈ A y x ∈ B)
La negación del «y» es el «o» de las negaciones (ley de De Morgan):
Ahora se distribuye, y aparecen cuatro casos de los que dos son imposibles:
(x∈A y x∉B) → x ∈ A − B
(x∈B y x∉A) → x ∈ B − A
(x∈B y x∉B) imposible
Quedan los dos del medio, unidos por un «o»:
Como todos los pasos son «si y solo si», la igualdad queda probada en los dos sentidos de una sola vez. Si alguno fuera solo una implicación, habría que hacer la vuelta aparte.
Ahora la verificación con los conjuntos concretos. Lado izquierdo:
A ∩ B = {3,4}
(A ∪ B) − (A ∩ B) = {1,2,5,6}
Lado derecho:
B − A = {5,6}
(A − B) ∪ (B − A) = {1,2,5,6} ✓
Los dos dan {1,2,5,6}, que son justo los elementos que están en un solo conjunto. Los del medio (3 y 4) se van, y el 7 y el 8 nunca estuvieron.
Un ejemplo no demuestra nada, pero un contraejemplo refuta todo. La verificación no reemplaza a la prueba: sirve para detectar que uno se equivocó. Si los dos lados te dieran distinto, la demostración de arriba tiene un error, seguro.
Dónde se pierde el punto: «probar» la igualdad solo con el ejemplo numérico. Es la respuesta a la segunda parte, no a la primera. La primera pide todos los A y B, y para eso hace falta el razonamiento con un x genérico.
Dónde se cae la mayoría
- Leer el "o" de la unión como excluyente. A ∪ B incluye a los que están en los dos.
- Tomar complemento sin decir respecto de qué universo.
- Escribir (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. De Morgan cambia la operación: da Aᶜ ∩ Bᶜ.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Unión, intersección y complemento →Los otros temas de la unidad 1
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