Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos
Unión, intersección y complemento
Tres operaciones que combinan conjuntos. Casi todo lo que se pide se resuelve dibujando el diagrama de Venn y pintando la región que corresponde.
La explicación
Las operaciones
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B} intersección
A − B = {x : x ∈ A y x ∉ B} diferencia
Aᶜ = {x ∈ U : x ∉ A} complemento
El "o" de la unión es inclusivo: los elementos que están en los dos también entran. Y el complemento siempre se toma respecto de un conjunto universal U, que hay que tener declarado: el complemento de {1,2} no significa nada hasta que se diga si U es ℕ o ℝ.
El truco: pintar el diagrama
Dos conjuntos parten el universo en cuatro regiones: sólo A, sólo B, las dos, ninguna. Cualquier expresión con ∪, ∩, − y ᶜ es simplemente elegir cuáles de esas cuatro se pintan.
Las leyes de De Morgan
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
En palabras: el complemento da vuelta la operación. "No estar en A ni en B" es lo mismo que "no estar en A y no estar en B". La unión se convierte en intersección y al revés.
Otras propiedades que se usan
A − B = A ∩ Bᶜ la diferencia no es una operación nueva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) distributiva
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) distributiva
La segunda es útil: cada vez que aparece una resta, se puede reescribir con complemento y aplicar De Morgan.
U = {1,…,10}, A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7}. Calcular A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A y (A ∪ B)ᶜ.
Conviene ordenar mentalmente los elementos en las cuatro regiones antes de calcular nada:
en los dos: 4, 5
sólo en B: 6, 7
en ninguno: 8, 9, 10
Con eso a la vista, todo sale leyendo:
A ∩ B = {4, 5} la segunda
A − B = {1, 2, 3} la primera
B − A = {6, 7} la tercera
(A ∪ B)ᶜ = {8, 9, 10} la cuarta
Verificación por De Morgan. (A ∪ B)ᶜ tiene que dar lo mismo que Aᶜ ∩ Bᶜ. Y de hecho: Aᶜ = {6,7,8,9,10}, Bᶜ = {1,2,3,8,9,10}, y su intersección es {8,9,10}. Coincide.
Control de tamaños: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 5 + 4 − 2 = 7. Y contamos 7 elementos. Si no cerrara, habría que revisar.
Dónde se cae la mayoría
- Leer el "o" de la unión como excluyente. A ∪ B incluye a los que están en los dos.
- Tomar complemento sin decir respecto de qué universo.
- Escribir (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. De Morgan cambia la operación: da Aᶜ ∩ Bᶜ.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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